Pravila za primerjavo korenin. Kako hitro izvleči kvadratne korenine

N-ti koren števila je število, ki, ko ga dvignemo na to potenco, da število, iz katerega je izluščen koren. Najpogosteje se dejanja izvajajo s kvadratnimi koreninami, ki ustrezajo 2 stopinjam. Pri ekstrakciji korena ga pogosto ni mogoče jasno zaznati, rezultat pa je število, ki ga ni mogoče predstaviti kot naravni ulomek (transcendentalno). Toda z uporabo nekaterih tehnik lahko močno poenostavite rešitev primerov s koreninami.

Boste potrebovali

• – predstavitev korena števila;
• – dejanja s stopnjami;
• – formule za skrajšano množenje;
• - kalkulator.

Navodila

1. Če absolutna natančnost ni potrebna, uporabite kalkulator pri reševanju primerov s koreninami. Če želite izluščiti kvadratni koren števila, ga vnesite na tipkovnico in preprosto pritisnite ustrezen gumb, ki prikazuje znak korena. Kot običajno kalkulatorji vzamejo kvadratni koren. Če pa želite izračunati korenine višjih potenc, uporabite funkcijo dviga števila na potenco (na inženirskem kalkulatorju).

2. Če želite najti kvadratni koren, povečajte število na potenco 1/2, kubni koren na 1/3 in tako naprej. Hkrati strogo upoštevajte, da mora biti pri pridobivanju korenin sodih stopinj število pozitivno, nasprotno, kalkulator preprosto ne bo dal rezultata. Ali je to posledica dejstva, da bo vsako število, ko ga dvignemo na sodo potenco, pozitivno, recimo (-2)^4=(-2)? (-2)? (-2)? (-2)=16. Če želite izluščiti celoten kvadratni koren, uporabite tabelo kvadratov naravnih števil.

3. Če v bližini nimate kalkulatorja ali potrebujete brezpogojno natančnost pri izračunih, uporabite lastnosti korenin in različne formule za poenostavitev izrazov. Iz številnih števil je mogoče izluščiti delne korene. Če želite to narediti, uporabite lastnost, da je koren produkta dveh števil enak produktu korenin teh števil?m?n=?m??n.

4. Primer. Izračunajte vrednost izraza (?80-?45)/?5. Neposreden izračun ne bo prinesel ničesar, saj nobena korenina ni popolnoma ekstrahirana. Preoblikujte izraz (?16?5-?9?5)/ ?5=(?16??5-?9??5)/ ?5=?5?(?16-?9)/ ?5. Zmanjšajte števec in imenovalec za?5, dobite (?16-?9)=4-3=1.

5. Če je radikalni izraz ali sam koren vgrajen v stopnjo, potem pri ekstrakciji korena uporabite lastnost, da lahko eksponent radikalnega izraza delimo s stopnjo korena. Če se deljenje izvede v celoti, se število vnese izpod korena. Recimo ?5^4=5?=25. Primer. Izračunajte vrednost izraza (?3+?5)?(?3-?5). Uporabite formulo kvadratne razlike in dobite (?3)?-(?5)?=3-5=-2.

Navaden ulomek je muhasto število. Občasno je treba potrpeti, da bi odkrili rešitev težave z ulomek in ga predstavi v pravilni obliki. Ko se je naučil odločati primeri z ulomek, lahko zlahka spopadete s to neprijetnostjo.

Navodila

1. Ponovi seštevanje in odštevanje ulomkov. Na primer 5/2+10/5. Oba ulomka zreducirajte na skupni imenovalec. Če želite to narediti, poiščite število, ki ga lahko brez ostanka delite z imenovalcem prvega in drugega ulomka. V našem primeru je to številka 10. Preoblikujte zgornje ulomke, izkaže se 25/10 + 20/10 Zdaj seštejte števce skupaj, imenovalec pa pustite nespremenjen. Izkazalo se je 45/10.Dobljeni ulomek lahko zmanjšate, to je, da števec in imenovalec razdelite na isto število. Izkazalo se je 9/2 Izberite cel del. Poiščite največje število, ki ga lahko brez ostanka delite z imenovalcem. To število je 8. Deli ga z imenovalcem - to bo cel del. Izkazalo se je, da je vsota 4 1/2. Naredite isto pri odštevanju ulomkov.

2. Ponovi množenje ulomkov. Tukaj je vse primitivno. Pomnožite števce in imenovalce skupaj. Na primer, 2/5 pomnoženo s 4/2 je enako 8/10. Zmanjšajte ulomek, da dobite 4/5.

3. Poglejte delitve ulomkov. Ko izvajate to dejanje, obrnite enega od ulomkov in nato pomnožite števce in imenovalce. Recimo, 2/5 deljeno s 4/2 - dobite 2/5 pomnoženo z 2/4 - dobite 4/20. Zmanjšajte ulomek, da dobite 1/5.

Sorodni videoposnetki

Deljenje kvadratnih korenov poenostavi ulomek. Zaradi prisotnosti kvadratnih korenov je reševanje nekoliko težje, vendar nekatera pravila olajšajo delo z ulomki. Glavna stvar, ki si jo morate zapomniti, je, da so faktorji razdeljeni na faktorje, radikalni izrazi pa na radikalne izraze. Kvadratni koren je lahko tudi v imenovalcu.

Koraki

Delitev radikalnih izrazov

Zapiši ulomek.Če izraz ni predstavljen kot ulomek, ga prepišite tako. Tako je lažje slediti postopku deljenja kvadratnih korenov. Ne pozabite, da vodoravna črta predstavlja znak delitve.

Uporabite en korenski znak.Če imata tako števec kot imenovalec ulomka kvadratne korenine, zapišite njuna radikalna izraza pod isti znak korena, da poenostavite postopek reševanja. Radikalni izraz je izraz (ali samo število), ki je pod znakom korena.

Razdelite radikalne izraze. Deli eno število z drugim (kot običajno) in rezultat zapiši pod koren.

Poenostavite radikalno izražanje (če je potrebno).Če je radikalni izraz ali eden od njegovih faktorjev popoln kvadrat, poenostavite izraz. Popolni kvadrat je število, ki je kvadrat nekega celega števila. Na primer, 25 je popoln kvadrat, ker 5 × 5 = 25 (\displaystyle 5\krat 5=25).

Faktoring radikalnega izraza

1. Zapiši ulomek.Če izraz ni predstavljen kot ulomek, ga prepišite tako. Tako je lažje slediti procesu deljenja kvadratnih korenov, zlasti pri faktoriziranju radikalnih izrazov. Ne pozabite, da vodoravna črta predstavlja znak delitve.

   Postavite faktor vsak radikalni izraz.Število pod znakom korena je faktorizirano kot vsako celo število. Dejavnike zapiši pod znak korena.

   Poenostavite števec in imenovalec ulomka.Če želite to narediti, izpod znaka korena izvlecite faktorje, ki so popolni kvadrati. Popolni kvadrat je število, ki je kvadrat nekega celega števila. Faktor korenskega izraza bo postal faktor pred korenskim znakom.

   Znebite se korena v imenovalcu (racionalizirajte imenovalec). V matematiki ni običajno pustiti korena v imenovalcu. Če ima imenovalec ulomka kvadratni koren, se ga znebite. Če želite to narediti, pomnožite števec in imenovalec s kvadratnim korenom, ki se ga želite znebiti.

   Poenostavite nastali izraz (če je potrebno). Včasih sta v števcu in imenovalcu ulomka števila, ki jih je mogoče poenostaviti (reducirati). Poenostavite cela števila v števcu in imenovalcu, kot bi poenostavili kateri koli ulomek.

Deljenje kvadratnih korenov s faktorji

Poenostavite množitelje. Množitelj je število, ki je pred znakom korena. Če želite faktorje poenostaviti, jih razdelite ali prekličite (radikale pustite pri miru).

Poenostavite kvadratni koren.Če je števec enakomerno deljiv z imenovalcem, to storite; v nasprotnem primeru poenostavite radikalni izraz kot katerikoli drug izraz.

Poenostavljene faktorje pomnožite s poenostavljenimi koreni. Ne pozabite, da je bolje, da ne pustite korena v imenovalcu, zato pomnožite števec in imenovalec ulomka s tem korenom.

Po potrebi se znebite korena v imenovalcu (odštevalnik racionalizirajte). V matematiki ni običajno pustiti korena v imenovalcu. Torej pomnožite števec in imenovalec s kvadratnim korenom, ki se ga želite znebiti.

Ali morate narediti zapletene izračune, pa nimate elektronske računalniške naprave pri roki? Uporabite spletni program - korenski kalkulator. Pomagala bo:

• poiskati kvadratne ali kubične korenine danih števil;
• izvajati matematične operacije z ulomki.

Kaj je kvadratni koren

Vsako matematično dejanje ima reakcijo: seštevanje→odštevanje, množenje→deljenje, potenciranje→koren.

Kvadratni koren števila a bo število, katerega kvadrat je enak a. Iz tega sledi odgovor na vprašanje, kako izračunati koren števila? Izbrati morate številko, ki bo na drugo potenco enaka vrednosti pod korenom.

Običajno se 2 ne piše nad znakom korena. Ker je to najmanjša potenca, in v skladu s tem, če ni števila, potem je eksponent 2. Rešujemo: če želite izračunati kvadratni koren iz 16, morate najti število, ki pri dvigu na drugo potenco povzroči 16.

Izračune izvajamo ročno

Izračuni z metodo faktorizacije se izvajajo na dva načina, odvisno od radikalnega števila:

1. Celo število, ki ga je mogoče faktorizirati na kvadrate in dobiti natančen odgovor.

Kvadratna števila so števila, ki jih je mogoče koreniti brez ostanka. Faktorji so števila, ki pri množenju dajo prvotno število.

Na primer:

25, 36, 49 so kvadratna števila, ker:

Izkazalo se je, da so kvadratni faktorji faktorji, ki so kvadratna števila.

Vzemimo 784 in iz njega izvlecimo koren.

Število razčlenimo na kvadratne faktorje. Število 784 je večkratnik 4, kar pomeni, da je prvi kvadratni faktor 4 x 4 = 16. 784 delimo s 16 in dobimo 49 - to je tudi kvadratno število 7 x 7 = 16.
Uporabimo pravilo Iz vsakega kvadratnega faktorja vzamemo koren, pomnožimo rezultate in dobimo odgovor.	Odgovori.

2. Nedeljivo. Ni ga mogoče razstaviti na kvadratne faktorje.

Takšni primeri so pogostejši kot pri celih številih. Njihova rešitev ne bo eksaktna, z drugimi besedami celovita. To bo delno in približno. Za poenostavitev težave vam bo pomagala razgradnja radikalnega števila na kvadratni faktor in število, iz katerega ni mogoče izluščiti kvadratnega korena.

Število 252 razstavimo na kvadrat in navadni faktor.
Ocenimo vrednost korena. Za to izberemo dve kvadratni števili, ki stojita pred in za radikalnim številom na digitalnem ravnilu.	Radikalno število je 7. To pomeni, da bo najbližje večje kvadratno število 8, manjše pa 4. med 2 in 4.
Ocenjevanje vrednosti	Najverjetneje je √7 bližje 2. Izberemo ga tako, da ko to število pomnožimo s samim seboj, je rezultat 7. 2,7 x 2,7 = 7,2. Ni primerno, ker je 7,2>7, vzamemo manjše 2,6 x 2,6 = 6,76. Pustimo ga, ker 6.76~7.
Izračunajte koren

Kako izračunati koren kompleksnega števila? Tudi z metodo ocenjevanja vrednosti korena.

Pri delitvi v stolpec dobimo najnatančnejši odgovor pri izluščitvi korena.

Vzemite list papirja in ga narišite tako, da bo navpična črta na sredini, vodoravna črta pa na desni strani in pod začetkom.
Korensko število razdelite na pare števil. Decimalke so razdeljene takole: - cel del od desne proti levi; je število za decimalno vejico od leve proti desni.	Primer: 3459842.825694 → 3 45 98 42, 82 56 94 795,28 → 7 95, 28 Dovoljeno je, da je na začetku neparna številka.
Za prvo številko (ali par) izberemo največje število n. Njegov kvadrat mora biti manjši ali enak vrednosti prvega števila (para števil). Izvlecite koren tega števila - √n. Rezultat zapiši desno zgoraj, kvadrat tega števila pa desno spodaj. Imamo prvih 7. Najbližje kvadratno število je 4. Je manjše od 7 in 4 =
Od prvega števila (para) odštej najdeni kvadrat števila n. Rezultat zapišite pod 7. In podvojite zgornjo številko na desni in zapišite izraz 4_х_=_ na desni. Opomba: številki morata biti enaki.
Število za izraz izberemo s pomišljaji. Če želite to narediti, poiščite takšno število, da dobljeni produkt ni večji ali enak trenutnemu številu na levi. V našem primeru je to 8.
Zapišite številko, ki jo najdete v zgornjem desnem kotu. To je drugo število od želenega korena. Vzemite naslednji par števil in ju zapišite poleg nastale razlike na levi.
Zmnožek na desni odštejte od številke na levi. Podvojite število, ki se nahaja zgoraj desno, in zapišite izraz s pomišljaji.
Nastali razliki dodamo še nekaj števil. Če so to številke delnega dela, to je, ki se nahajajo za vejico, potem vejico postavimo v zgornji desni kot blizu zadnje številke želenega kvadratnega korena. V izrazu na desni vpišemo pomišljaje, pri čemer izberemo število tako, da je dobljeni produkt manjši ali enak razliki v izrazu na levi.
Če potrebujete več decimalnih mest, dodajte poleg trenutnega števila na levi in ​​ponovite korake: odštejte z leve, podvojite številko v zgornjem desnem kotu, zapišite izraz s pomišljaji, izberite faktorje zanj itd. .

Koliko časa mislite, da boste porabili za takšne izračune? Težko, dolgo, zmedeno. Zakaj si potem ne bi olajšali? Uporabite naš program, ki vam bo pomagal narediti hitre in natančne izračune.

Algoritem dejanj

1. Vnesite želeno število decimalnih mest.

2. Navedite stopnjo korena (če je večja od 2).

3. Vnesite številko, iz katere nameravate izvleči koren.

4. Kliknite gumb "Reši".

Računanje najbolj zapletenih matematičnih operacij s spletnim kalkulatorjem bo postalo preprosto!

\(\sqrt(a)=b\), če \(b^2=a\), kjer \(a≥0,b≥0\)

Primeri:

\(\sqrt(49)=7\), saj \(7^2=49\)
\(\sqrt(0,04)=0,2\), saj \(0,2^2=0,04\)

Kako izluščiti kvadratni koren števila?

Če želite izluščiti kvadratni koren števila, si morate zastaviti vprašanje: katero število na kvadrat bo dalo izraz pod korenom?

Na primer. Ekstrahirajte koren: a)\(\sqrt(2500)\); b) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); c) \(\sqrt(0,001)\); d) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

a) Katero število na kvadrat da \(2500\)?

\(\sqrt(2500)=50\)

b) Katero število na kvadrat bo dalo \(\frac(4)(9)\)?

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

c) Katero število na kvadrat bo dalo \(0,0001\)?

\(\sqrt(0,0001)=0,01\)

d) Kakšno število na kvadrat bo dalo \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)? Če želite odgovoriti na vprašanje, morate prevesti v napačen.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

Komentiraj: Čeprav \(-50\), \(-\frac(2)(3)\) , \(-0,01\),\(- \frac(7)(6)\) prav tako odgovarjajo na dana vprašanja , vendar se ne upoštevajo, saj je kvadratni koren vedno pozitiven.

Glavna lastnost korenine

Kot veste, ima v matematiki vsako dejanje obratno. Seštevanje ima odštevanje, množenje ima deljenje. Nasprotje kvadriranja je pridobivanje kvadratnega korena. Zato se ta dejanja med seboj izničijo:

\((\sqrt(a))^2=a\)

To je glavna lastnost korena, ki se najpogosteje uporablja (tudi v OGE)

Primer . (naloga iz OGE). Poiščite vrednost izraza \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\)

rešitev :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

Primer . (naloga iz OGE). Poiščite vrednost izraza \((\sqrt(85)-1)^2\)

rešitev:

Seveda, ko delate s kvadratnimi koreni, morate uporabiti druge.

Primer . (naloga iz OGE). Poiščite vrednost izraza \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\)
rešitev:

odgovor: \(220\)

4 pravila, na katera ljudje vedno pozabimo

Koren ni vedno izvlečen

Primer: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\) itd. – pridobivanje korena števila ni vedno mogoče in to je normalno!

Koren števila, tudi število

\(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\) ni treba obravnavati na noben poseben način. To so številke, vendar ne cela števila, ja, vendar se vse v našem svetu ne meri v celih številih.

Koren se vzame le iz nenegativnih števil

Zato v učbenikih ne boste videli takih vnosov \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\) itd.