जड़ों की तुलना के नियम. वर्गमूल को शीघ्रता से कैसे निकालें

किसी संख्या का nवाँ मूल एक संख्या है, जिसे जब उस घात तक बढ़ाया जाता है, तो वह संख्या देता है जिससे मूल निकाला जाता है। अधिकतर, क्रियाएं वर्गमूलों के साथ की जाती हैं, जो 2 डिग्री के अनुरूप होती हैं। जड़ निकालते समय, इसे स्पष्ट रूप से खोजना अक्सर अवास्तविक होता है, और परिणाम एक संख्या होती है जिसे प्राकृतिक अंश (ट्रान्सेंडैंटल) के रूप में प्रस्तुत करना अवास्तविक होता है। लेकिन कुछ तरकीबों का उपयोग करके, जड़ों वाले उदाहरणों के समाधान को बहुत सरल बनाना संभव है।

आपको चाहिये होगा

• - किसी संख्या के मूल का प्रतिनिधित्व;
• - डिग्री के साथ कार्रवाई;
• - संक्षिप्त गुणन सूत्र;
• - कैलकुलेटर।

अनुदेश

1. यदि बिना शर्त सटीकता की आवश्यकता नहीं है, तो जड़ों के साथ उदाहरणों को हल करते समय कैलकुलेटर का उपयोग करें। किसी संख्या से वर्गमूल निकालने के लिए, इसे कीबोर्ड पर टाइप करें, और बस संबंधित बटन दबाएं, जो मूल चिह्न दिखाता है। हमेशा की तरह, कैलकुलेटर वर्गमूल लेते हैं। लेकिन उच्च डिग्री की जड़ों की गणना करने के लिए, किसी संख्या को घात तक बढ़ाने के फ़ंक्शन का उपयोग करें (इंजीनियरिंग कैलकुलेटर पर)।

2. वर्गमूल निकालने के लिए, संख्या को घात 1/2 तक, घनमूल को 1/3 तक बढ़ाएँ, इत्यादि। साथ ही, इस बात पर सख्ती से विचार करें कि सम डिग्री की जड़ें निकालते समय, संख्या सकारात्मक होनी चाहिए, इसके विपरीत, कैलकुलेटर मूल रूप से परिणाम नहीं देगा। यह इस तथ्य के कारण है कि जब एक सम घात तक बढ़ाया जाता है, तो कोई भी संख्या सकारात्मक होगी, मान लीजिए, (-2) ^ 4 \u003d (-2)? (-2)? (-2)? (-2)=16. संपूर्ण वर्गमूल निकालने के लिए, जब संभव हो, प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों की तालिका का उपयोग करें।

3. यदि आपके पास कोई कैलकुलेटर नहीं है, या आपको गणना में बिना शर्त सटीकता की आवश्यकता है, तो अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए जड़ों के गुणों के साथ-साथ विभिन्न सूत्रों का उपयोग करें। अनेक संख्याओं से आंशिक मूल निकालना संभव है। ऐसा करने के लिए, इस गुण का उपयोग करें कि 2 संख्याओं के गुणनफल का मूल इन संख्याओं के मूलों के गुणनफल के बराबर है?m?n=?m??n।

4. उदाहरण। व्यंजक (?80-?45)/?5 के मान की गणना करें। सीधी गणना से कुछ नहीं मिलेगा, क्योंकि एक भी जड़ पूरी तरह से नहीं निकाली जाती है। अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें (?16?5-?9?5)/ ?5=(?16??5-?9??5)/ ?5=?5?(?16-?9)/ ?5. अंश और हर को?5 से कम करें, आपको (?16-?9)=4-3=1 मिलता है।

5. यदि मूलांक अभिव्यक्ति या मूल स्वयं एक डिग्री में निर्मित है, तो मूल निकालते समय इस गुण का उपयोग करें कि मूलांक अभिव्यक्ति के प्रतिपादक को मूल की डिग्री से विभाजित किया जा सके। यदि विभाजन पूर्ण रूप से किया जाता है, तो संख्या को मूल के नीचे से दर्ज किया जाता है। मान लीजिए ?5^4=5?=25. उदाहरण। अभिव्यक्ति (?3+?5)?(?3-?5) के मान की गणना करें। वर्ग अंतर सूत्र लागू करें और (?3)?-(?5)?=3-5=-2 प्राप्त करें।

एक साधारण भिन्न एक विशिष्ट संख्या है। कभी-कभी किसी समस्या का समाधान खोजने के लिए व्यक्ति को कष्ट उठाना पड़ता है अंशऔर उसे उचित रूप में प्रस्तुत करें। निर्णय लेना सीख लिया है उदाहरणसाथ अंश, आप इस अप्रिय चीज़ से आसानी से निपट सकते हैं।

अनुदेश

1. भिन्नों को जोड़ने और घटाने की समीक्षा करें. उदाहरण के लिए, 5/2+10/5. दोनों भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में घटाएँ। ऐसा करने के लिए, वह संख्या ज्ञात करें जिसे पहले और दूसरे दोनों भिन्नों के हर से बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जा सके। हमारे मामले में, यह संख्या 10 है। उपरोक्त भिन्नों को रूपांतरित करें, यह 25/10+20/10 निकलता है। अब अंशों को एक साथ जोड़ें, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें। यह 45/10 निकला। आप परिणामी अंश को कम कर सकते हैं, यानी, अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित कर सकते हैं। यह 9/2 निकला। पूरे भाग का चयन करें। वह उच्चतम संख्या ज्ञात कीजिए जिसे हर से बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जा सके। यह संख्या 8 है। इसे हर से विभाजित करें - यह पूरा भाग होगा। यह पता चला कि कुल 4 1/2 है। भिन्नों को घटाते समय भी यही कार्य करें।

2. भिन्नों के गुणन की समीक्षा करें. यहां सब कुछ आदिम है. अंश और हर को एक साथ गुणा करें। उदाहरण के लिए, 2/5 को 4/2 से गुणा करने पर 8/10 आता है। 4/5 प्राप्त करने के लिए भिन्न को कम करें।

3. भिन्नों को विभाजित करते हुए देखें. इस क्रिया को करते समय, भिन्नों में से किसी एक को उलट दें, और फिर अंश और हर को गुणा करें। मान लीजिए, 2/5 को 4/2 से विभाजित करने पर आपको 2/5 को 2/4 से गुणा करने पर 4/20 प्राप्त होता है। 1/5 प्राप्त करने के लिए भिन्न को कम करें।

विषय पर वीडियो

वर्गमूलों को विभाजित करने से भिन्न सरल हो जाती है। वर्गमूलों की उपस्थिति हल करना थोड़ा अधिक कठिन बना देती है, लेकिन कुछ नियम भिन्नों के साथ काम करना अपेक्षाकृत आसान बना देते हैं। याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि कारकों को कारकों में विभाजित किया जाता है, और मूल अभिव्यक्तियों को मूल अभिव्यक्तियों में विभाजित किया जाता है। वर्गमूल हर में भी हो सकता है.

कदम

उग्र भावों का विभाजन

भिन्न लिखिए.यदि अभिव्यक्ति को भिन्न के रूप में प्रस्तुत नहीं किया गया है, तो इसे इस रूप में फिर से लिखें। इससे वर्गमूलों को विभाजित करने की प्रक्रिया का पालन करना आसान हो जाता है। याद रखें कि क्षैतिज पट्टी एक विभाजन चिह्न का प्रतिनिधित्व करती है।

एक मूल चिह्न का प्रयोग करें.यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों के वर्गमूल हैं, तो समाधान प्रक्रिया को सरल बनाने के लिए उनके मूल भावों को एक ही मूल चिह्न के नीचे लिखें। मूल अभिव्यक्ति एक अभिव्यक्ति (या सिर्फ एक संख्या) है जो मूल चिह्न के अंतर्गत होती है।

मूल भावों को विभाजित करें.एक संख्या को दूसरे से विभाजित करें (हमेशा की तरह), और परिणाम को मूल चिह्न के नीचे लिखें।

सरल मौलिक अभिव्यक्ति (यदि आवश्यक हो)।यदि मूलांक अभिव्यक्ति या उसका एक गुणनखंड एक पूर्ण वर्ग है, तो अभिव्यक्ति को सरल बनाएं। पूर्ण वर्ग वह संख्या है जो किसी पूर्णांक का वर्ग होती है। उदाहरण के लिए, 25 एक पूर्ण वर्ग है क्योंकि 5 × 5 = 25 (\प्रदर्शन शैली 5\गुना 5=25).

एक मौलिक अभिव्यक्ति का गुणनखंडन

1. भिन्न लिखिए.यदि अभिव्यक्ति को भिन्न के रूप में प्रस्तुत नहीं किया गया है, तो इसे इस रूप में फिर से लिखें। इससे वर्गमूलों को विभाजित करने की प्रक्रिया का पालन करना आसान हो जाता है, खासकर जब मूल अभिव्यक्तियों का गुणनखंडन किया जाता है। याद रखें कि क्षैतिज पट्टी एक विभाजन चिह्न का प्रतिनिधित्व करती है।

   लेआउट प्रत्येक मौलिक अभिव्यक्ति को गुणनखंडित करें।मूल चिन्ह के नीचे की संख्या किसी भी पूर्णांक की तरह गुणनखंडित होती है। मूल चिह्न के नीचे गुणनखंड लिखिए।

   सरल भिन्न का अंश और हर।ऐसा करने के लिए, मूल चिह्न के नीचे से गुणनखंड, जो पूर्ण वर्ग हैं, हटा दें। पूर्ण वर्ग वह संख्या है जो किसी पूर्णांक का वर्ग होती है। मूल अभिव्यक्ति का गुणक मूल चिह्न से पहले गुणक बन जाएगा।

   हर में मूल से छुटकारा पाएं (हर को तर्कसंगत बनाएं)।गणित में हर में जड़ छोड़ने की प्रथा नहीं है। यदि भिन्न के हर का वर्गमूल हो तो उससे छुटकारा पाएं। ऐसा करने के लिए, अंश और हर दोनों को उस वर्गमूल से गुणा करें जिससे आप छुटकारा पाना चाहते हैं।

   परिणामी अभिव्यक्ति को सरल बनाएं (यदि आवश्यक हो)।कभी-कभी भिन्न के अंश और हर में ऐसी संख्याएँ होती हैं जिन्हें सरल (घटाया) किया जा सकता है। अंश और हर में पूर्णांकों को किसी भिन्न की तरह सरल बनाएं।

वर्गमूलों को गुणनखंडों से विभाजित करना

कारकों को सरल कीजिये.गुणक वह संख्या है जो मूल चिह्न से पहले आती है। कारकों को सरल बनाने के लिए, उन्हें विभाजित करें या रद्द करें (मूलांकों को अकेला छोड़ दें)।

सरल वर्गमूल।यदि अंश हर से विभाज्य है, तो ऐसा करें; अन्यथा, मूल अभिव्यक्ति को किसी अन्य अभिव्यक्ति की तरह सरल बनाएं।

सरलीकृत कारकों को सरलीकृत मूलों से गुणा करें।याद रखें कि हर में मूल न छोड़ना बेहतर है, इसलिए भिन्न के अंश और हर दोनों को इस मूल से गुणा करें।

यदि आवश्यक हो, तो हर में मूल को हटा दें (हर को तर्कसंगत बनाएं)।गणित में हर में जड़ छोड़ने की प्रथा नहीं है। इसलिए अंश और हर दोनों को उस वर्गमूल से गुणा करें जिससे आप छुटकारा पाना चाहते हैं।

क्या आपको जटिल गणनाएँ करने की ज़रूरत है, लेकिन आपके पास इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटिंग डिवाइस नहीं है? एक ऑनलाइन प्रोग्राम - एक रूट कैलकुलेटर का उपयोग करें। वह मदद करेगी:

• दी गई संख्याओं का वर्ग या घनमूल ज्ञात करें;
• भिन्नात्मक शक्तियों के साथ गणितीय संक्रियाएँ निष्पादित करना।

वर्गमूल क्या है

प्रत्येक गणितीय क्रिया की एक प्रतिक्रिया होती है: जोड़→घटाना, गुणा→भाग, घातांक→मूल।

किसी संख्या का वर्गमूल एएक संख्या होगी जिसका वर्ग बराबर है ए. इससे इस प्रश्न का उत्तर मिलता है कि किसी संख्या का मूल कैसे निकाला जाए? आपको एक संख्या चुननी होगी जो दूसरी घात के मूल के अंतर्गत मान के बराबर होगी।

आमतौर पर मूल चिन्ह के ऊपर 2 नहीं लिखा होता है। चूँकि यह सबसे छोटी घात है, और तदनुसार, यदि कोई संख्या नहीं है, तो घातांक 2 है। हम हल करते हैं: 16 के वर्गमूल की गणना करने के लिए, आपको एक संख्या खोजने की आवश्यकता है, जिसे दूसरी घात तक बढ़ाने पर, परिणाम मिलता है 16.

हम गणना मैन्युअल रूप से करते हैं

मूलांक संख्या के आधार पर गुणनखंड विधि का उपयोग करके गणना दो तरीकों से की जाती है:

1.एक पूर्णांक जिसे वर्गों में विभाजित किया जा सकता है और सटीक उत्तर प्राप्त किया जा सकता है।

वर्ग संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनसे बिना कोई शेष छोड़े मूल निकाला जा सकता है। और गुणनखंड वे संख्याएँ हैं जिन्हें गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है।

उदाहरण के लिए:

25, 36, 49 वर्ग संख्याएँ हैं क्योंकि:

इससे पता चलता है कि वर्ग गुणनखंड वे गुणनखंड हैं जो वर्ग संख्याएँ हैं।

आइए 784 लें और उसमें से जड़ निकालें।

हम संख्या को वर्ग गुणनखंडों में विभाजित करते हैं। संख्या 784, 4 का गुणज है, जिसका अर्थ है कि पहला वर्ग गुणनखंड 4 x 4 = 16 है। 784 को 16 से विभाजित करने पर हमें 49 प्राप्त होता है - यह भी एक वर्ग संख्या 7 x 7 = 16 है।
चलिए नियम लागू करते हैं हम प्रत्येक वर्ग गुणनखंड का मूल लेते हैं, परिणामों को गुणा करते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं।	उत्तर।

2. अविभाज्य. इसे वर्ग गुणनखंडों में विभाजित नहीं किया जा सकता।

ऐसे उदाहरण पूर्णांकों की तुलना में अधिक बार होते हैं। उनका समाधान सटीक, दूसरे शब्दों में, संपूर्ण नहीं होगा। यह आंशिक और अनुमानित होगा. समस्या को सरल बनाने के लिए, मूल संख्या को एक वर्ग गुणनखंड और एक ऐसी संख्या में विघटित करने से मदद मिलेगी जिससे वर्गमूल नहीं निकाला जा सकता है।

हम संख्या 252 को एक वर्ग और एक नियमित गुणनखंड में विघटित करते हैं।
हम मूल के मूल्य का अनुमान लगाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम दो वर्ग संख्याओं का चयन करते हैं जो डिजिटल रूलर पर मूल संख्या के सामने और पीछे होती हैं।	मूल संख्या 7 है। इसका मतलब है कि निकटतम बड़ी वर्ग संख्या 8 होगी, और छोटी वर्ग संख्या 4 होगी। 2 और 4 के बीच.
मूल्य का आकलन	सबसे अधिक संभावना है, √7, 2 के करीब है। हम इसे इस तरह से चुनते हैं कि जब इस संख्या को स्वयं से गुणा किया जाता है, तो परिणाम 7 होता है। 2.7 x 2.7 = 7.2. उपयुक्त नहीं है, 7.2>7 के बाद से, छोटा 2.6 x 2.6 = 6.76 लें। हम इसे छोड़ देते हैं, क्योंकि 6.76~7.
मूल की गणना करें

किसी सम्मिश्र संख्या के मूल की गणना कैसे करें? साथ ही मूल के मानों का अनुमान लगाने की विधि का भी उपयोग कर रहे हैं।

एक कॉलम में विभाजित करते समय, जड़ निकालते समय सबसे सटीक उत्तर प्राप्त होता है।

कागज की एक शीट लें और इसे इस प्रकार खींचें कि ऊर्ध्वाधर रेखा बीच में हो, और क्षैतिज रेखा इसके दाईं ओर और शुरुआत के नीचे हो।
मूलांक को संख्याओं के युग्मों में तोड़ें। दशमलव भिन्नों को इस प्रकार विभाजित किया गया है: - दाएँ से बाएँ पूरा भाग; - बाएँ से दाएँ दशमलव बिंदु के बाद की संख्या।	उदाहरण: 3459842.825694 → 3 45 98 42, 82 56 94 795,28 → 7 95, 28 यह अनुमति है कि शुरुआत में एक अयुग्मित संख्या बनी रहे।
पहली संख्या (या जोड़ी) के लिए, हम सबसे बड़ी संख्या n चुनते हैं। इसका वर्ग पहली संख्या (संख्याओं का युग्म) के मान से कम या उसके बराबर होना चाहिए। इस संख्या से मूल √n निकालें। परिणाम को ऊपर दाईं ओर लिखें, और इस संख्या का वर्ग नीचे दाईं ओर लिखें। हमारे पास पहला 7 है। निकटतम वर्ग संख्या 4 है। यह 7 से कम है, और 4 =
संख्या n के प्राप्त वर्ग को पहली संख्या (जोड़ी) से घटाएँ। परिणाम 7 के अंतर्गत लिखें. और दाईं ओर ऊपरी संख्या को दोगुना करें और दाईं ओर अभिव्यक्ति 4_х_=_ लिखें। नोट: संख्याएँ समान होनी चाहिए।
हम डैश वाले व्यंजक के लिए एक संख्या का चयन करते हैं। ऐसा करने के लिए, एक ऐसी संख्या खोजें जिससे परिणामी उत्पाद बाईं ओर की वर्तमान संख्या से अधिक या उसके बराबर न हो। हमारे मामले में यह 8 है.
ऊपरी दाएं कोने में पाए गए नंबर को लिखें। यह वांछित मूल से दूसरी संख्या है। संख्याओं का अगला जोड़ा लें और उन्हें बाईं ओर परिणामी अंतर के आगे लिख लें।
बाईं ओर की संख्या से दाईं ओर के गुणनफल को घटाएं। ऊपर दाईं ओर स्थित संख्या को दोगुना करें और अभिव्यक्ति को डैश के साथ लिखें।
हम परिणामी अंतर में कुछ और संख्याएँ जोड़ते हैं। यदि ये भिन्नात्मक भाग की संख्याएँ हैं, अर्थात् अल्पविराम के पीछे स्थित हैं, तो हम वांछित वर्गमूल के अंतिम अंक के पास ऊपरी दाएँ कोने में अल्पविराम लगाते हैं। हम दाईं ओर अभिव्यक्ति में डैश भरते हैं, संख्या का चयन करते हैं ताकि परिणामी उत्पाद बाईं ओर अभिव्यक्ति में अंतर से कम या उसके बराबर हो।
यदि आपको अधिक दशमलव स्थानों की आवश्यकता है, तो बाईं ओर वर्तमान संख्या के आगे जोड़ें और चरणों को दोहराएं: बाईं ओर से घटाएं, ऊपरी दाएं कोने में संख्या को दोगुना करें, अभिव्यक्ति को डैश के साथ लिखें, इसके लिए कारकों का चयन करें, और इसी तरह .

आपको क्या लगता है कि आप ऐसी गणनाओं पर कितना समय खर्च करेंगे? कठिन, लंबा, भ्रमित करने वाला। तो फिर इसे अपने लिए आसान क्यों न बनाएं? हमारे प्रोग्राम का उपयोग करें, जो आपको त्वरित और सटीक गणना करने में मदद करेगा।

क्रियाओं का एल्गोरिदम

1. दशमलव स्थानों की वांछित संख्या दर्ज करें।

2. मूल की डिग्री इंगित करें (यदि यह 2 से अधिक है)।

3. वह संख्या दर्ज करें जिससे आप रूट निकालने की योजना बना रहे हैं।

4. "हल करें" बटन पर क्लिक करें।

ऑनलाइन कैलकुलेटर के साथ सबसे जटिल गणितीय संक्रियाओं की गणना करना आसान होगा!

\(\sqrt(a)=b\), यदि \(b^2=a\), जहां \(a≥0,b≥0\)

उदाहरण:

\(\sqrt(49)=7\), चूँकि \(7^2=49\)
\(\sqrt(0.04)=0.2\), चूँकि \(0.2^2=0.04\)

किसी संख्या का वर्गमूल कैसे निकालें?

किसी संख्या का वर्गमूल निकालने के लिए, आपको अपने आप से यह प्रश्न पूछना होगा: कौन सी संख्या का वर्ग मूल के नीचे अभिव्यक्ति देगा?

उदाहरण के लिए. जड़ निकालें: a)\(\sqrt(2500)\); बी) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); सी) \(\sqrt(0.001)\); d) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

a) किस संख्या का वर्ग करने पर \(2500\) मिलेगा?

\(\sqrt(2500)=50\)

b) किस संख्या का वर्ग करने पर \(\frac(4)(9)\) मिलेगा?

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

ग) किस संख्या का वर्ग करने पर \(0.0001\) मिलेगा?

\(\sqrt(0.0001)=0.01\)

d) किस संख्या का वर्ग करने पर \(\sqrt(1\frac(13)(36))\) मिलेगा? प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आपको इसे गलत में बदलना होगा।

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

टिप्पणी: हालांकि \(-50\), \(-\frac(2)(3)\), \(-0.01\),\(- \frac(7)(6)\), सवालों के जवाब भी देते हैं, लेकिन उन पर ध्यान नहीं दिया जाता, क्योंकि वर्गमूल सदैव धनात्मक होता है।

जड़ का मुख्य गुण

जैसा कि आप जानते हैं, गणित में किसी भी क्रिया का व्युत्क्रम होता है। जोड़ में घटाव है, गुणा में भाग है। वर्ग का व्युत्क्रम वर्गमूल लेना है। इसलिए, ये क्रियाएं एक-दूसरे को क्षतिपूर्ति देती हैं:

\((\sqrt(a))^2=a\)

यह जड़ का मुख्य गुण है, जिसका सबसे अधिक उपयोग किया जाता है (OGE सहित)

उदाहरण . (OGE से असाइनमेंट)। अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\)

समाधान :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

उदाहरण . (OGE से असाइनमेंट)। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए \((\sqrt(85)-1)^2\)

समाधान:

बेशक, वर्गमूलों के साथ काम करते समय, आपको दूसरों का उपयोग करने की आवश्यकता होती है।

उदाहरण . (OGE से असाइनमेंट)। अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\)
समाधान:

उत्तर: \(220\)

4 नियम जो हमेशा भुला दिए जाते हैं

जड़ हमेशा नहीं निकाली जाती

उदाहरण: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\) आदि। - किसी संख्या से मूल निकालना हमेशा संभव नहीं होता है और यह सामान्य है!

किसी संख्या का मूल, एक संख्या भी

\(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\) को किसी विशेष तरीके से व्यवहार करने की आवश्यकता नहीं है। ये संख्याएँ हैं, लेकिन पूर्णांक नहीं, हाँ, लेकिन हमारी दुनिया में सब कुछ पूर्णांक में नहीं मापा जाता है।

मूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं से लिया जाता है

इसलिए, पाठ्यपुस्तकों में आपको ऐसी प्रविष्टियाँ \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\), आदि नहीं दिखेंगी।