Гипотеза Пуанкаре: формулировка и доказательство. Формы пространства Теорема которую доказал перельман простыми словами

Фото Н. Четвериковой Последним великим достижением чистой математики называют доказательство петербуржцем Григорием Перельманом в 2002—2003 годах гипотезы Пуанкаре, высказанной в 1904 году и гласящей: «всякое связное, односвязное, компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно сфере S 3 ».

В этой фразе имеется несколько терминов, которые я постараюсь объяснить так, чтобы их общий смысл стал понятен нематематикам (я предполагаю, что читатель закончил среднюю школу и кое-что из школьной математики еще помнит).

Начнем с понятия гомеоморфизма, центрального в топологии. Вообще, топологию часто определяют как «резиновую геометрию», т. е. как науку о свойствах геометрических образов, которые не меняются при плавных деформациях без разрывов и склеек, а точнее, при возможности установить между двумя объектами взаимно-однозначное и взаимно-непрерывное соответствие.

Главную идею проще всего объяснить на классическом примере кружки и бублика. Первую можно превратить во второй непрерывной деформацией: Эти рисунки наглядно показывают, что кружка гомеоморфна бублику, причем этот факт верен как для их поверхностей (двумерных многообразий, называемых тором), так и для заполненных тел (трехмерных многообразий с краем).

Приведем толкование остальных терминов, фигурирующих в формулировке гипотезы.

1. Трехмерное многообразие без края. Это такой геометрический объект, у которого каждая точка имеет окрестность в виде трехмерного шара. Примерами 3-многообразий может служить, во-первых, всё трехмерное пространство, обозначаемое R 3 , а также любые открытые множества точек в R 3 , к примеру внутренность полнотория (бублика). Если рассмотреть замкнутое полно-торие, т. е. добавить и его граничные точки (поверхность тора), то мы получим уже многообразие с краем -у краевых точек нет окрестностей в виде шарика, но лишь в виде половинки шарика.

2. Связное. Понятие связности здесь самое простое. Многообразие связно, если оно состоит из одного куска, или, что-то же самое, любые две его точки можно соединить непрерывной линией, не выходящей за его пределы.

3. Односвязное. Понятие односвязности сложнее. Оно означает, что любую непрерывную замкнутую кривую, расположенную целиком в пределах данного многообразия, можно плавно стянуть в точку, не покидая этого многообразия. Например, обычная двумерная сфера в R 3 односвязна (кольцевую резинку, как угодно приложенную к поверхности яблока, можно плавной деформацией стянуть в одну точку, не отрывая резинки от яблока). С другой стороны, окружность и тор неодносвязны.

4. Компактное. Многообразие компактно, если любой его гомео-морфный образ имеет ограниченные размеры. Например, открытый интервал на прямой (все точки отрезка, кроме его концов) некомпактен, так как его можно непрерывно растянуть до бесконечной прямой. А вот замкнутый отрезок (с концами) является компактным многообразием с краем: при любой непрерывной деформации концы переходят в какие-то определенные точки, и весь отрезок обязан переходить в ограниченную кривую, соединяющую эти точки.

Размерность многообразия -это число степеней свободы у точки, которая на нем «живет». У каждой точки есть окрестность в виде диска соответствующей размерности, т. е. интервала прямой в одномерном случае, круга на плоскости в двумерном, шара в трехмерном и т. д. Одномерных связных многообразий без края с точки зрения топологии всего два: это прямая и окружность. Из них только окружность компактна.

Примером пространства, не являющегося многообразием, может служить, например, пара пересекающихся линий — ведь у точки пересечения двух линий любая окрестность имеет форму креста, у нее нет окрестности, которая была бы сама по себе просто интервалом (а у всех других точек такие окрестности есть). Математики в таких случаях говорят, что мы имеем дело с особым многообразием, у которого есть одна особая точка.

Двумерные компактные многообразия хорошо известны. Если рассматривать только ориентируемые 1 многообразия без края, то они с топологической точки зрения составляют простой, хотя и бесконечный, список: и так далее. Каждое такое многообразие получается из сферы приклеиванием нескольких ручек, число которых называется родом поверхности.

1 За неимением места, я не буду говорить о неориентируемых многообразиях, примером которых может служить известная бутылка Клейна — поверхность, которую нельзя вложить в пространство без самопересечений.

На рисунке изображены поверхности рода 0, 1, 2 и 3. Чем выделяется сфера из всех поверхностей этого списка? Оказывается, односвязностью: на сфере любую замкнутую кривую можно стянуть в точку, а на любой другой поверхности всегда можно указать кривую, которую стянуть в точку по поверхности невозможно.

Любопытно, что и трехмерные компактные многообразия без края можно в некотором смысле классифицировать, т. е. выстроить в некоторый список, хотя не такой прямолинейный, как в двумерном случае, а имеющий довольно сложную структуру. Тем не менее, трехмерная сфера S 3 выделяется в этом списке точно так же, как двумерная сфера в списке, приведенном выше. Тот факт, что любая кривая на S 3 стягивается в точку, доказывается столь же просто, как и в двумерном случае. А вот обратное утверждение, а именно, что это свойство уникально именно для сферы, т. е. что на любом другом трехмерном многообразии есть нестягиваемые кривые, очень трудное и в точности составляет содержание гипотезы Пуанкаре, о которой мы ведем речь.

Важно понимать, что многообразие может жить само по себе, о нем можно мыслить как о независимом объекте, никуда не вложенном. (Представьте себе жизнь двумерных существ на поверхности обычной сферы, не подозревающих о существовании третьего измерения.) К счастью, все двумерные поверхности из приведенного выше списка можно вложить в обычное пространство R 3 , что облегчает их визуализацию. Для трехмерной сферы S 3 (и вообще для любого компактного трехмерного многообразия без края) это уже не так, поэтому необходимы некоторые усилия для того, чтобы понять ее строение.

По-видимому, простейший способ объяснить топологическое устройство трехмерной сферы S 3 — это при помощи одноточечной компактифика-ции. А именно, трехмерная сфера S 3 представляет собой одноточечную компактификацию обычного трехмерного (неограниченного) пространства R 3 .

Поясним эту конструкцию сначала на простых примерах. Возьмем обычную бесконечную прямую (одномерный аналог пространства) и добавим к ней одну «бесконечно удаленную» точку, считая, что при движении по прямой вправо или влево мы в конце концов попадаем в эту точку. С топологической точки зрения нет разницы между бесконечной прямой и ограниченным открытым отрезком (без концевых точек). Такой отрезок можно непрерывно изогнуть в виде дуги, свести поближе концы и вклеить в место стыка недостающую точку. Мы получим, очевидно, окружность — одномерный аналог сферы.

Подобным же образом, если я возьму бесконечную плоскость и добавлю одну точку на бесконечности, к которой стремятся все прямые исходной плоскости, проходимые в любом направлении, то мы получим двумерную (обычную) сферу S 2 . Эту процедуру можно наблюдать при помощи стереографической проекции, которая каждой точке P сферы, за исключением северного полюса N, ставит в соответствие некоторую точку плоскости P":

Таким образом, сфера без одной точки — это топологически все равно, что плоскость, а добавление точки превращает плоскость в сферу.

В принципе, точно такая же конструкция применима и к трехмерной сфере и трехмерному пространству, только для ее осуществления необходим выход в четвертое измерение, и на чертеже это не так просто изобразить. Поэтому я ограничусь словесным описанием одноточечной компактификации пространства R 3 .

Представьте себе, что к нашему физическому пространству (которое мы, вслед за Ньютоном, считаем неограниченным евклидовым пространством с тремя координатами x, y, z) добавлена одна точка «на бесконечности» таким образом, что при движении по прямой в любом направлении вы в нее попадаете (т.е. каждая пространственная прямая замыкается в окружность). Тогда мы получим компактное трехмерное многообразие, которое и есть по определению сфера S 3 .

Легко понять, что сфера S 3 односвязна. В самом деле, любую замкнутую кривую на этой сфере можно немного сдвинуть, чтобы она не проходила через добавленную точку. Тогда мы получим кривую в обычном пространстве R 3 , которая легко стягивается в точку посредством гомотетий, т. е. непрерывного сжатия по всем трем направлениям.

Для понимания, как устроено многообразие S 3 , весьма поучительно рассмотреть его разбиение на два полнотория. Если из пространства R 3 выбросить полноторие, то останется нечто не очень понятное. А если пространство компактифицировать в сферу, то это дополнение превращается тоже в полноторие. То есть сфера S 3 разбивается на два полнотория, имеющих общую границу — тор.

Вот как это можно понять. Вложим тор в R 3 как обычно, в виде круглого бублика, и проведем вертикальную прямую — ось вращения этого бублика. Через ось проведем произвольную плоскость, она пересечет наше полноторие по двум кругам, показанным на рисунке зеленым цветом, а дополнительная часть плоскости разбивается на непрерывное семейство красных окружностей. К их числу относится и центральная ось, выделенная более жирно, потому что в сфере S 3 прямая замыкается в окружность. Трехмерная картина получается из этой двумерной вращением вокруг оси. Полный набор повернутых окружностей заполнит при этом трехмерное тело, гомео-морфное полноторию, только выглядящее необычно.

В самом деле, центральная ось будет в нем осевой окружностью, а остальные будут играть роль параллелей — окружностей, составляющих обычное полноторие.

Чтобы было с чем сравнивать 3-сферу, я приведу еще один пример компактного 3-многообразия, а именно трехмерный тор. Трехмерный тор можно построить следующим образом. Возьмем в качестве исходного материала обычный трехмерный куб:

В нем имеется три пары граней: левая и правая, верхняя и нижняя, передняя и задняя. В каждой паре параллельных граней отождествим попарно точки, получающиеся друг из друга переносом вдоль ребра куба. То есть будем считать (чисто абстрактно, без применения физических деформаций), что, например, A и A" - это одна и та же точка, а B и B" - тоже одна точка, но отличная от точки A. Все внутренние точки куба будем рассматривать как обычно. Сам по себе куб-это многообразие с краем, но после проделанных склеек край замыкается сам на себя и исчезает. В самом деле, окрестностями точек A и A" в кубе (они лежат на левой и правой заштрихованных гранях) служат половинки шаров, которые после склейки граней сливаются в целый шарик, служащий окрестностью соответствующей точки трехмерного тора.

Чтобы ощутить устройство 3-тора исходя из обыденных представлений о физическом пространстве, нужно выбрать три взаимно перпендикулярных направления: вперед, влево и вверх — и мысленно считать, как в фантастических рассказах, что при движении в любом из этих направлений достаточно долгое, но конечное время, мы вернемся в исходную точку, но с противоположного направления Это тоже «компактификация пространства», но не одноточечная, использованная раньше для построения сферы, а более сложная.

На трехмерном торе есть нестягиваемые пути; например, таковым является отрезок AA" на рисунке (на торе он изображает замкнутый путь). Его нельзя стянуть, потому что при любой непрерывной деформации точки A и A" обязаны двигаться по своим граням, оставаясь строго друг напротив друга (иначе кривая разомкнется).

Итак, мы видим, что бывают односвязные и неодносвязные компактные 3-многообразия. Перельман доказал, что односвязное многообразие ровно одно.

Исходной идеей доказательства является использование так называемого «потока Риччи»: мы берем односвязное компактное 3-многообразие, наделяем его произвольной геометрией (т.е. вводим некоторую метрику с расстояниями и углами), а затем рассматриваем его эволюцию вдоль потока Риччи. Ричард Гамильтон, который высказал эту идею в 1981 году, надеялся, что при такой эволюции наше многообразие превратится в сферу. Оказалось, что это неверно, — в трехмерном случае поток Риччи способен портить многообразие, т. е. делать из него немногообразие (нечто с особыми точками, как в приведенном выше примере пересекающихся прямых). Перельману путем преодоления неимоверных технических трудностей, с использованием тяжелого аппарата уравнений с частными производными, удалось внести поправки в поток Риччи вблизи особых точек таким образом, что при эволюции топология многообразия не меняется, особых точек не возникает, а в конце концов оно превращается в круглую сферу. Но нужно объяснить наконец, что же такое этот поток Риччи. Потоки, использованные Гамильтоном и Перельманом, относятся к изменению внутренней метрики на абстрактном многообразии, и это объяснить довольно трудно, поэтому я ограничусь описанием «внешнего» потока Риччи на одномерных многообразиях, вложенных в плоскость.

Представим себе гладкую замкнутую кривую на евклидовой плоскости, выберем на ней направление и рассмотрим в каждой точке касательный вектор единичной длины. Тогда при обходе кривой в выбранном направлении этот вектор будет поворачиваться с какой-то угловой скоростью, которая называется кривизной. В тех местах, где кривая изогнута круче, кривизна (по абсолютной величине) будет больше, а там, где она более плавная, кривизна будет меньше.

Кривизну будем считать положительной, если вектор скорости поворачивает в сторону внутренней части плоскости, разбитой нашей кривой на две части, и отрицательной, если он поворачивает вовне. Это соглашение на зависит от направления обхода кривой. В точках перегиба, где вращение меняет направление, кривизна будет равна 0. Например, окружность радиуса 1 имеет постоянную положительную кривизну, равную 1 (если считать ее в радианах).

Теперь забудем про касательные векторы и к каждой точке кривой прикрепим, наоборот, перпендикулярный ей вектор, по длине равный кривизне в данной точке и направленный вовнутрь, если кривизна положительна, и вовне, если отрицательна, а затем заставим каждую точку двигаться в направлении соответствующего вектора со скоростью, пропорциональной его длине. Вот пример:

Оказывается, что любая замкнутая кривая на плоскости ведет себя при такой эволюции подобным же образом, т. е. превращается в конце концов в окружность. Это и есть доказательство одномерного аналога гипотезы Пуанкаре при помощи потока Риччи (впрочем, само утверждение в данном случае и так очевидно, просто способ доказательства иллюстрирует, что происходит в размерности 3).

Заметим в заключение, что рассуждение Перельмана доказывает не только гипотезу Пуанкаре, но и гораздо более общую гипотезу геометризации Тёрстона, которая в известном смысле описывает устройство всех вообще компактных трехмерных многообразий. Но этот предмет лежит уже за рамками настоящей элементарной статьи.

Сергей Дужин,
докт.физ.-мат. наук,
старший научный сотрудник
Санкт-Петербургского отделения
Математического института РАН

Гениальный математик, парижский профессор Анри Пуанкаре занимался самыми разными областями этой науки. Самостоятельно и независимо от работ Эйнштейна в 1905 году он выдвинул основные положения Специальной теории относительности. А свою знаменитую гипотезу он сформулировал еще в 1904 году, так что на ее решение потребовалось около столетия.

Пуанкаре был одним из родоначальников топологии — науке о свойствах геометрических фигур, которые не изменяются при деформациях, происходящих без разрывов. К примеру, воздушный шарик можно с легкостью деформировать в самые разные фигуры — как это делают для детей в парке. Но потребуется разрезать шарик, чтобы скрутить из него бублик (или, говоря геометрическим языком, тор) — другого способа не существует. И наоборот: возьмите резиновый бублик и попробуйте «превратить» его в сферу. Впрочем, все равно не выйдет. По своим топологическим свойствам поверхности сферы и тора несовместимы, или негомеоморфны. Зато любые поверхности без «дырок» (замкнутые поверхности), наоборот, гомеоморфны и способны, деформируясь, переходить в сферу.

Если насчет двумерных поверхностей сферы и тора все было решено еще в XIX веке, для более многомерных случаев потребовалось гораздо больше времени. В этом, собственно, и состоит суть гипотезы Пуанкаре, которая расширяет закономерность на многомерные случаи. Немного упрощая, гипотеза Пуанкаре гласит: «Всякое односвязное замкнутое n-мерное многообразие гомеоморфно n-мерной сфере». Забавно, что вариант с трехмерными поверхностями оказался самым непростым. В 1960 году гипотеза была доказана для размерностей 5 и выше, в 1981 — для n=4. Камнем преткновения стала именно трехмерность.

Развивая идеи Вильяма Тёрстена и Ричарда Гамильтона, предложенные ими в 1980-х годах, Григорий Перельман применил к трехмерным поверхностям особое уравнение «плавной эволюции». И сумел показать, что исходная трехмерная поверхность (если в ней нет разрывов) обязательно будет эволюционировать в трехмерную сферу (это поверхность четырехмерного шара, и существует она в 4-мерном пространстве). По словам ряда специалистов, это была идея «нового поколения», решение которой открывает новые горизонты для математической науки.

Интересно, что сам Перельман отчего-то не потрудился довести свое решение до окончательного блеска. Описав решение «в целом» в препринте The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications в ноябре 2002 года, он в марте 2003 года дополнил доказательство и изложил его в препринте Ricci flow with surgery on three-manifolds , а также сообщил о методе в серии лекций, которые прочел в 2003 году по приглашениям ряда университетов. Ни один из рецензентов не смог обнаружить в предложенном им варианте ошибок, но и публикации в реферируемом научном издании Перельман не выпустил (а именно таковым, в частности было необходимое условие получения премии ). Зато в 2006 году на основе его метода вышел целый набор доказательств, в которых американские и китайские математики подробно и полностью рассматривают проблему, дополняют моменты, опущенные Перельманом, и выдают «окончательное доказательство» гипотезы Пуанкаре.

В 1904 г. Анри Пуанкаре предположил, что любой трехмерный объект, обладающий определенными свойствами трехмерной сферы, можно преобразовать в 3-сферу. На доказательство этой гипотезы ушло 99 лет. (Внимание! Трехмерная сфера – это не то, о чем вы подумали.) Российский математик доказал высказанную сто лет назад гипотезу Пуанкаре и завершил создание каталога форм трехмерных пространств. Возможно, он получит премию в $1 млн.

Оглянитесь вокруг. Окружающие вас предметы, как и вы сами, представляют собой набор частиц, перемещающихся в трехмерном пространстве (3-многообразии), которое простирается во всех направлениях на многие миллиарды световых лет.

Многообразия – это математические построения. Со времен Галилея и Кеплера ученые успешно описывают действительность в терминах той или иной ветви математики. Физики считают, что все на свете происходит в трехмерном пространстве и положение любой частицы можно задать тремя числами, например, широтой, долготой и высотой (оставим пока в стороне высказанное в теории струн предположение о том, что помимо трех наблюдаемых нами измерений существуют еще несколько дополнительных).

Согласно классической и традиционной квантовой физике, пространство фиксировано и неизменно. В то же время общая теория относительности рассматривает его как активного участника событий: расстояние между двумя точками зависит от проходящих гравитационных волн и от того, сколько вещества и энергии расположено вблизи. Но и в ньютоновской, и в эйнштейновской физике пространство – бесконечное или конечное – в любом случае представляет собой 3-многообразие. Поэтому для полного понимания основ, на которые опирается почти вся современная наука, необходимо разобраться в свойствах 3-многообразий (не меньший интерес вызывают 4-многообразия, так как пространство и время вместе образуют одно из них).

Раздел математики, в котором изучаются многообразия, называется топологией. Топологи прежде всего задались фундаментальными вопросами: каков самый простой (т.е. характеризующийся наименее сложной структурой) тип 3-многообразия? Есть ли у него столь же простые собратья или же он уникален? Какие вообще бывают 3-многообразия?

Ответ на первый вопрос известен давно: самым простым компактным 3-многообразием является пространство, называемое 3-сферой (Некомпактные многообразия бесконечны или имеют края. Далее рассматриваются только компактные многообразия). Два других вопроса оставались открытыми на протяжении столетия. Лишь в 2002 г. на них ответил российский математик Григорий Перельман, который, судя по всему, сумел доказать гипотезу Пуанкаре.

Ровно сто лет назад французский математик Анри Пуанкаре предположил, что 3-сфера уникальна и никакое другое компактное 3-многообразие не обладает теми свойствами, которые делают ее столь простой. У более сложных 3-многообразий есть границы, встающие как кирпичная стена, или множественные связи между некоторыми областями, похожие на лесную тропинку, которая то разветвляется, то снова соединяется. Любой трехмерный объект со свойствами 3-сферы можно преобразовать в нее саму, поэтому для топологов он представляется просто ее копией. Доказательство Перельмана также позволяет ответить на третий вопрос и провести классификацию всех существующих 3-многообразий.

Вам потребуется изрядное воображение, чтобы представить себе 3-сферу (см. МНОГОМЕРНАЯ МУЗЫКА СФЕР). К счастью, у нее много общего с 2-сферой, типичный пример которой – резина круглого воздушного шарика: она двухмерна, поскольку любая точка на ней задается всего двумя координатами – широтой и долготой. Если рассмотреть достаточно маленький ее участок под мощной лупой, то он покажется кусочком плоского листа. Крошечному насекомому, ползающему по воздушному шарику, он будет казаться плоской поверхностью. Но если козявка будет достаточно долго двигаться по прямой, то в конечном счете вернется в точку отправления. Точно так же 3-сферу размером с нашу Вселенную мы бы воспринимали как «обычное» трехмерное пространство. Пролетев достаточно далеко в любом направлении, мы бы в конце концов совершили «кругосветное путешествие» по ней и оказались бы в исходной точке.

Как вы уже догадались, n-мерная сфера называется n-сферой. Например, 1-сфера всем знакома: это просто окружность.

Григорий Перельман излагает свое доказательство гипотезы Пуанкаре и завершение программы Терстона по геометризации на семинаре в Принстонском университете в апреле 2003 г.

Проверка гипотез

Прошла половина столетия, прежде чем дело о гипотезе Пуанкаре сдвинулось с мертвой точки. В 60-х гг. XX в. математики доказали аналогичные ей утверждения для сфер пяти и более измерений. В каждом случае n-сфера действительно является единственным и простейшим n-многообразием. Как ни странно, получить результат для многомерных сфер оказалось легче, чем для 3- и 4-сферы. Доказательство для четырех измерений появилось в 1982 г. И только исходная гипотеза Пуанкаре о 3-сфере оставалась неподтвержденной.

Решающий шаг был сделан в ноябре 2002 г., когда Григорий Перельман, математик из Санкт-Петербургского отделения математического института им. Стеклова, отправил статью на сайт www.arxiv.org, где физики и математики со всего мира обсуждают результаты своей научной деятельности. Топологи сразу уловили связь работы российского ученого с гипотезой Пуанкаре, хотя напрямую автор ее не упомянул. В марте 2003 г. Перельман опубликовал вторую статью и весной того же года посетил США и провел несколько семинаров в Массачусетском технологическом институте и в Университете штата Нью-Йорк в Стоуни-Брук. Несколько групп математиков в ведущих институтах тут же занялись детальным изучением представленных работ и поиском ошибок.

ОБЗОР: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ ПУАНКАРЕ

Целое столетие математики пытались доказать предположение Анри Пуанкаре об исключительной простоте и уникальности 3-сферы среди всех трехмерных объектов.
Обоснование гипотезы Пуанкаре наконец появилось в работе молодого российского математика Григория Перельмана. Он также завершил обширную программу классификации трехмерных многообразий.
Возможно, наша Вселенная имеет форму 3-сферы. Есть и другие интригующие связи математики с физикой элементарных частиц и общей теорией относительности.

В Стоуни-Брук за две недели Перельман прочитал несколько лекций, выступая от трех до шести часов в день. Он очень четко изложил материал и ответил на все возникшие вопросы. До получения окончательного результата остался еще один незначительный шаг, но нет никаких сомнений в том, что он вот-вот будет сделан. Первая статья знакомит читателя с основополагающими идеями и считается полностью проверенной. Во второй статье освещаются прикладные вопросы и технические нюансы; она пока еще не вызывает такого же полного доверия, как ее предшественница.

В 2000 г. Институт математики им. Клея в Кембридже, штат Массачусетс, учредил премию в размере $1 млн. за доказательство каждой из семи «Проблем тысячелетия», одной из которых считается гипотеза Пуанкаре. Прежде чем ученый сможет претендовать на приз, его доказательство должно быть опубликовано и в течение двух лет тщательно проверено.

Работа Перельмана расширяет и завершает программу исследований, проведенных в 90-х гг. прошлого века Ричардом Гамильтоном (Richard S. Hamilton) из Колумбийского университета. В конце 2003 г. труды американского математика были отмечены премией Института Клея. Перельману удалось блестяще преодолеть целый ряд препятствий, с которыми не смог справиться Гамильтон.

На самом деле доказательство Перельмана, правильность которого еще никому не удалось поставить под сомнение, решает гораздо более широкий круг вопросов, чем собственно гипотеза Пуанкаре. Предложенная Уильямом Терстоном (William P. Thurston) из Корнеллского университета процедура геометризации позволяет провести полную классификацию 3-многообразий, в основу которой положена 3-сфера, уникальная в своей возвышенной простоте. Если бы гипотеза Пуанкаре была ложной, т.е. существовало бы множество пространств столь же простых, как сфера, то классификация 3-многообразий превратилась бы в нечто бесконечно более сложное. Благодаря Перельману и Терстону у нас появился полный каталог всех допускаемых математикой форм трехмерного пространства, которые могла бы принять наша Вселенная (если рассматривать только пространство без времени).

Резиновые бублики

Чтобы глубже понять гипотезу Пуанкаре и доказательство Перельмана, следует поближе познакомиться с топологией. В этом разделе математики форма объекта не имеет значения, как будто он сделан из теста, которое можно как угодно растягивать, сжимать и изгибать. Зачем же нам задумываться о вещах или пространствах из воображаемого теста? Дело в том, что точная форма объекта – расстояние между всеми его точками – относится к структурному уровню, который называют геометрией. Рассматривая объект из теста, топологи выявляют его фундаментальные свойства, не зависящие от геометрической структуры. Изучение топологии похоже на поиск наиболее общих черт, присущих людям, методом рассмотрения «пластилинового человека», которого можно превратить в любого конкретного индивида.

В популярной литературе часто встречается избитое утверждение, что с точки зрения топологии чашка ничем не отличается от бублика. Дело в том, что чашку из теста можно превратить в бублик, просто сминая материал, т.е. ничего не слепляя и не проделывая отверстий (см. ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ). С другой стороны, чтобы сделать бублик из шара, в нем непременно нужно сделать дырку или раскатать его в цилиндр и слепить концы, поэтому шар – это совсем не бублик.

Топологов больше всего интересуют поверхности шара и бублика. Поэтому вместо сплошных тел следует представлять себе воздушные шарики. Их топология по-прежнему различна, поскольку сферический воздушный шарик невозможно преобразовать в кольцевой, который называется тором. Сначала ученые решили разобраться, сколько вообще существует объектов с различной топологией и как их можно охарактеризовать. Для 2-многообразий, которые мы привыкли называть поверхностями, ответ изящен и прост: все определяется количеством «дырок» или, что то же самое, количеством ручек (см. ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ).К концу XIX в. математики поняли, как классифицировать поверхности, и установили, что самая простая из них – сфера. Естественно, топологи начали задумываться о трехмерных многообразиях: уникальна ли 3-сфера в своей простоте? Вековая история поисков ответа полна неверных шагов и ошибочных доказательств.

Анри Пуанкаре вплотную занялся этим вопросом. Он был одним из двух сильнейших математиков начала XX в. (другим был Давид Гильберт). Его называли последним универсалом – он успешно работал во всех разделах как чистой, так и прикладной математики. Кроме того, Пуанкаре внес огромный вклад в развитие небесной механики, теорию электромагнетизма, а также в философию науки, о которой написал несколько популярных книг.

Пуанкаре стал основателем алгебраической топологии и, используя ее методы, в 1900 г. сформулировал топологическую характеристику объекта, названную гомотопией. Чтобы определить гомотопию многообразия, нужно мысленно погрузить в него замкнутую петлю (см. ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ). Затем следует выяснить, всегда ли можно стянуть петлю в точку, перемещая ее внутри многообразия. Для тора ответ будет отрицательным: если расположить петлю по окружности тора, то стянуть ее в точку не удастся, т.к. будет мешать «дырка» бублика. Гомотопия – это количество различных путей, которые могут воспрепятствовать стягиванию петли.

МНОГОМЕРНАЯ МУЗЫКА СФЕР

Не так-то просто представить себе 3-сферу. Математикам, доказывающим теоремы о многомерных пространствах, не приходится воображать себе объект изучения: они обращаются с абстрактными свойствами, руководствуясь интуитивными представлениями, основанными на аналогиях с меньшим числом измерений (к таким аналогиям нужно относиться с осторожностью и не принимать их буквально). Мы тоже будем рассматривать 3-сферу, исходя из свойств объектов с меньшим числом измерений.

1. Начнем с рассмотрения круга и ограничивающей его окружности. Для математиков круг – это двумерный шар, а окружность – одномерная сфера. Далее, шар любой размерности – это заполненный объект, напоминающий арбуз, а сфера – это его поверхность, больше похожая на воздушный шарик. Окружность одномерна, потому что положение точки на ней можно задать одним числом.

2. Из двух кругов мы можем построить двумерную сферу, превратив один из них в Северное полушарие, а другой – в Южное. Осталось склеить их, и 2-сфера готова.

3. Представим себе муравья, ползущего с Северного полюса по большому кругу, образованному нулевым и 180-м меридианом (слева). Если мы отобразим его путь на два исходных круга (справа), то увидим, что насекомое движется по прямой линии (1) к краю северного круга (а), затем пересекает границу, попадает в соответствующую точку на южном круге и продолжает следовать по прямой линии (2 и 3). Затем муравей снова достигает края (b), переходит его и снова оказывается на северном круге, устремляясь к исходной точке – Северному полюсу (4). Заметьте, что во время кругосветного путешествия по 2-сфере направление движения сменяется на противоположное при переходе с одного круга на другой.

4. Теперь рассмотрим нашу 2-сферу и содержащийся в ней объем (трехмерный шар) и сделаем с ними то же самое, что с окружностью и кругом: возьмем две копии шара и склеим их границы вместе. Наглядно показать, как шары искажаются в четырех измерениях и превращаются в аналог полушарий, невозможно, да и не нужно. Достаточно знать, что соответствующие точки на поверхностях, т.е. 2-сферах, соединены между собой так же, как в случае с окружностями. Результат соединения двух шаров представляет собой 3-сферу – поверхность четырехмерного шара. (В четырех измерениях, где существуют 3-сфера и 4-шар, поверхность объекта трехмерна.) Назовем один шар северным полушарием, а другой – южным. По аналогии с кругами, полюса теперь находятся в центрах шаров.

5. Вообразите, что рассмотренные шары – большие пустые области пространства. Допустим, из Северного полюса отправляется космонавт на ракете. Со временем он достигает экватора (1), которым теперь является сфера, окружающая северный шар. Пересекая ее, ракета попадает в южное полушарие и движется по прямой линии через его центр – Южный полюс – к противоположной стороне экватора (2 и 3). Там снова происходит переход в северное полушарие, и путешественник возвращается в Северный полюс, т.е. в исходную точку (4). Таков сценарий кругосветного путешествия по поверхности 4-мерного шара! Рассмотренная трехмерная сфера и есть то пространство, о котором идет речь в гипотезе Пуанкаре. Возможно, наша Вселенная представляет собой именно 3-сферу.
Рассуждения можно распространить на пять измерений и построить 4-сферу, но вообразить это чрезвычайно сложно. Если склеить два n-шара по окружающим их (n–1)-сферам, то получится n-сфера, ограничивающая (n+1)-шар.

На n-сфере любую, даже замысловато закрученную петлю всегда можно распутать и стянуть в точку. (Петле разрешается проходить через саму себя.) Пуанкаре предполагал, что 3-сфера – единственное 3-многообразие, на котором в точку можно стянуть любую петлю. К сожалению, он так и не смог доказать свое предположение, которое впоследствии стали называть гипотезой Пуанкаре. За прошедшие сто лет многие предлагали свой вариант доказательства, но лишь для того, чтобы убедиться в его ошибочности. (Для простоты изложения я пренебрегаю двумя особыми случаями: так называемыми неориентируемыми многообразиями и многообразиями с краями. Например, у сферы с вырезанным из нее сегментом есть край, а петля Мебиуса не только имеет края, но также является неориентируемой.)

Геометризация

Проведенный Перельманом анализ 3-многообразий тесно связан с процедурой геометризации. Геометрия имеет дело с фактической формой объектов и многообразий, сделанных уже не из теста, а из керамики. Например, чашка и бублик геометрически различны, поскольку их поверхности изогнуты по-разному. Говорят, что чашка и бублик – два примера топологического тора, которому приданы разные геометрические формы.

Чтобы понять, зачем Перельман использовал геометризацию, рассмотрим классификацию 2-многообразий. Каждой топологической поверхности назначена уникальная геометрия, искривление которой распределено по многообразию равномерно. Например, для сферы – это идеально сферическая поверхность. Другая возможная геометрия для топологической сферы – яйцо, но его кривизна не везде распределена равномерно: острый конец изогнут сильнее, чем тупой.

2-многообразия образуют три геометрических типа (см. ГЕОМЕТРИЗАЦИЯ). Сфера характеризуется положительной кривизной. Геометризированный тор – плоский, ему свойственна нулевая кривизна. Все остальные 2-многообразия с двумя или более «дырками» имеют отрицательную кривизну. Им соответствует поверхность, похожая на седло, которое спереди и сзади изгибается вверх, а слева и справа –вниз. Такую геометрическую классификацию (геометризацию) 2-многообразий Пуанкаре разработал вместе с Паулем Кебе (Paul Koebe) и Феликсом Клейном (Felix Klein), именем которого названа бутылка Клейна.

Возникает естественное желание применить подобный метод к 3-многообразиям. Можно ли найти для каждого из них такую уникальную конфигурацию, у которой кривизна была бы распределена равномерно по всему многообразию?

Оказалось, что 3-многообразия гораздо сложнее своих двумерных собратьев и большинству из них нельзя поставить в соответствие однородную геометрию. Их следует разделять на части, которым соответствует одна из восьми канонических геометрий. Данная процедура напоминает разложение числа на простые множители.

ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

В ТОПОЛОГИИ точная форма, т.е. геометрия, не имеет значения: объекты рассматриваются так, как будто они сделаны из теста и их можно растягивать, сжимать и перекручивать. Однако резать и склеивать ничего нельзя. Таким образом, любой объект с одним отверстием, например, кофейная чашка (слева), эквивалентен бублику или тору (справа).

ЛЮБОЕ ДВУМЕРНОЕ многообразие или поверхность (ограничиваясь компактными ориентируемыми объектами) можно изготовить, добавляя к сфере (a) ручки. Прилепим одну – сделаем поверхность 1 рода, т.е. тор или бублик (вверху справа), добавим вторую – получим поверхность 2 рода (b) и т.д.

УНИКАЛЬНОСТЬ 2-сферы среди поверхностей заключается в том, что любую вложенную в нее замкнутую петлю можно стянуть в точку (a). На торе этому может препятствовать среднее отверстие (b). У любой поверхности, кроме 2-сферы, есть ручки, препятствующие стягиванию петли. Пуанкаре предположил, что 3-сфера уникальна среди трехмерных многообразий: только на ней любую петлю можно стянуть в точку.

Такая процедура классификации впервые была предложена Терстоном в конце 70-х гг. прошлого века. Вместе с коллегами он обосновал большую ее часть, но доказательство некоторых ключевых моментов (включая гипотезу Пуанкаре) оказалось им не под силу. Уникальна ли 3-сфера? Достоверный ответ на этот вопрос впервые появился в статьях Перельмана.

Каким же образом можно геометризировать многообразие и придать ему повсюду равномерное искривление? Нужно взять некую произвольную геометрию с различными выступами и углублениями, а затем сгладить все неровности. В начале 90-х гг. XX в. к анализу 3-многообразий приступил Гамильтон, который воспользовался уравнением потока Риччи, названным так в честь математика Грегорио Риччи-Курбастро (Gregorio Ricci-Curbastro). Оно в чем-то схоже с уравнением теплопроводности, которое описывает тепловые потоки, протекающие в неравномерно нагретом теле до тех пор, пока его температура не станет везде одинаковой. Точно так же уравнение потока Риччи задает такое изменение кривизны многообразия, которое ведет к выравниванию всех выступов и углублений. Например, если начать с яйца, то оно постепенно станет сферическим.

ГЕОМЕТРИЗАЦИЯ

ДЛЯ КЛАССИФИКАЦИИ 2-многообразий можно воспользоваться униформизацией или геометризацией: поставить им в соответствие определенную геометрию, жесткую форму. В частности, каждое многообразие можно преобразовать так, что его кривизна будет распределена равномерно. Сфера (a) – уникальная форма с постоянной положительной кривизной: она всюду изогнута как вершина холма. Тор (b) можно сделать плоским, т.е. всюду имеющим нулевую кривизну. Для этого его нужно разрезать и выпрямить. Полученный цилиндр следует разрезать вдоль и развернуть, чтобы получилась прямоугольная плоскость. Иными словами, тор можно отобразить на плоскость. Поверхностям 2 рода и выше (c) можно придать постоянную отрицательную кривизну, при этом их геометрия будет зависеть от количества ручек. Ниже изображена седлообразная поверхность с постоянной отрицательной кривизной.

КЛАССИФИЦИРОВАТЬ 3-МНОГООБРАЗИЯ гораздо сложнее. 3-многообразие приходится разделять на части, каждую из которых можно преобразовать в одну из восьми канонических трехмерных геометрий. Приведенный ниже пример (для простоты изображенный в виде 2-многообразия синего цвета) составлен из 3-геометрий с постоянной положительной (a), нулевой (b) и постоянной отрицательной (c) кривизной, а также из «произведений» 2-сферы и окружности (d) и поверхности с отрицательной кривизной и окружности (e).

Однако Гамильтон столкнулся с определенными трудностями: в некоторых случаях поток Риччи приводит к пережиму многообразия и образованию бесконечно тонкой шейки. (В этом его отличие от теплового потока: в точках пережима температура была бы бесконечно большой.) Один из примеров – многообразие в форме гантели. Сферы растут, втягивая материал из перемычки, которая в середине сужается в точку (см. БОРЬБА С ОСОБЕННОСТЯМИ). В другом случае, когда из многообразия выступает тонкий стержень, поток Риччи вызывает появление так называемой сигарообразной особенности. В правильном 3-многообразии окрестность любой точки является кусочком обычного трехмерного пространства, чего нельзя сказать о сингулярных точках пережима. Преодолеть это затруднение помогли работы российского математика.

В 1992 г. после защиты кандидатской диссертации Перельман прибыл в США и провел несколько семестров в университете штата Нью-Йорк в Стоуни-Брук, а затем два года в Калифорнийском университете в Беркли. Он быстро заслужил репутацию восходящей звезды, получив несколько важных и глубоких результатов в одном из разделов геометрии. Перельман был удостоен премии Европейского математического общества (от которой он отказался) и получил престижное приглашение выступить на Международном конгрессе математиков (которое он принял).

Весной 1995 г. ему были предложены должности в нескольких знаменитых математических учреждениях, но он предпочел вернуться в родной Санкт-Петербург и по существу исчез из поля зрения. На протяжении многих лет единственным признаком его деятельности были письма прежним коллегам с указанием ошибок, допущенных в опубликованных ими статьях. Запросы о состоянии его собственных работ оставались без ответа. И вот в конце 2002 г. несколько человек получили от Перельмана электронное письмо, сообщавшее о статье, которую он отправил на математический сервер. Так началось его наступление на гипотезу Пуанкаре.

БОРЬБА С ОСОБЕННОСТЯМИ

ПЫТАЯСЬ ИСПОЛЬЗОВАТЬ уравнение потока Риччи для доказательства гипотезы Пуанкаре и геометризации 3-многообразий, ученые столкнулись с трудностями, которые сумел преодолеть Григорий Перельман. Применение потока Риччи для постепенного изменения формы 3-многообразия иногда приводит к возникновению особенностей. Например, когда часть объекта имеет форму гантели (a), трубка между сферами может оказаться пережатой до точечного сечения, нарушающего свойства многообразия (b). Также не исключено появление так называемой сигарообразной особенности.

ПЕРЕЛЬМАН ПОКАЗАЛ , что над особенностями можно проводить «хирургические операции». Когда многообразие начинает пережиматься, следует вырезать небольшие участки по обе стороны от точки сужения (c), места среза закрыть небольшими сферами, а затем снова использовать поток Риччи (d). Если пережим возникает снова, процедуру нужно повторить. Перельман также доказал, что сигарообразная особенность никогда не появляется.

Перельман добавил к уравнению потока Риччи новый член. Внесенное изменение не устранило проблему особенностей, но позволило провести гораздо более глубокий анализ. Российский ученый показал, что над многообразием в виде гантели можно провести «хирургическую» операцию: отрезать тонкую трубку по обе стороны от появляющегося пережима и заделать торчащие из шаров открытые трубки сферическими колпачками. Затем следует продолжать изменение «прооперированного» многообразия в соответствии с уравнением потока Риччи, а ко всем возникающим пережимам применять вышеописанную процедуру. Перельман также показал, что сигарообразные особенности появляться не могут. Таким образом, любое 3-многообразие можно свести к набору частей с однородной геометрией.

Когда поток Риччи и «хирургическую операцию» применяют ко всем возможным 3-многообразиям, любое из них, если оно столь же простое, как 3-сфера (иначе говоря, характеризуется такой же гомотопией), обязательно сводится к той же самой однородной геометрии, что и 3-сфера. Значит, с топологической точки зрения, рассматриваемое многообразие и есть 3-сфера. Таким образом, 3-сфера уникальна.

Ценность статей Перельмана заключается не только в доказательстве гипотезы Пуанкаре, но и в новых методах анализа. Ученые всего мира уже используют в своих работах результаты, полученные российским математиком, и применяют разработанные им методы в других областях. Оказалось, что поток Риччи связан с так называемой группой перенормировки, которая определяет, как изменяется сила взаимодействий в зависимости от энергии столкновения частиц. Например, при низких энергиях сила электромагнитного взаимодействия характеризуется числом 0,0073 (приблизительно 1/137). Однако когда два электрона сталкиваются лоб в лоб при скорости, почти равной скорости света, значение этой силы приближается к 0,0078. Математика, описывающая изменение физических сил, очень похожа на математику, описывающую геометризацию многообразия.

Увеличение энергии столкновения эквивалентно изучению силы на меньших расстояниях. Поэтому группа перенормировки подобна микроскопу с изменяемым коэффициентом увеличения, который позволяет исследовать процесс на разных уровнях детализации. Точно так же поток Риччи представляет собой микроскоп для рассмотрения многообразий. Выступы и углубления, видимые при одном увеличении, исчезают при другом. Вполне вероятно, что в масштабах длины Планка (около $10^{–35}$ м) пространство, в котором мы живем, выглядит как пена со сложной топологической структурой (см. статью «Атомы пространства и времени», «В мире науки», №4, 2004 г.). Кроме того, уравнения общей теории относительности, которые описывают характеристики гравитации и крупномасштабной структуры Вселенной, тесно связаны с уравнением потока Риччи. Как это ни парадоксально, член, добавленный Перельманом к выражению, которое использовал Гамильтон, возникает в теории струн, претендующей на звание квантовой теории гравитации. Не исключено, что в статьях российского математика ученые найдут еще много полезной информации не только об абстрактных 3-многообразиях, но также и о пространстве, в котором мы живем.

Кандидат физико-математических наук Грэхем Коллинз (Graham P. Collins) работает редактором журнала Scientific American. Дополнительная информация о теореме Пуанкаре доступна на www.sciam.com/ontheweb.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА:

The Poincare Conjecture 99 Years Later: A Progress Report. John W. Milnor. February 2003. Available at www.math.sunysb.edu/~jack/PREPRINTS/poiproof.pdf
Jules Henri Poincare ’ (biography). October 2003. Available atwww-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Poincare.html
Millennium Problems. The Clay Mathematics Institute: www.claymath.org/millennium/
Notes and commentary on Perelman’s Ricci flow papers. Compiled by Bruce Kleiner and John Lott. Available at www.math.lsa.umich.edu/research/ricciflow/perelman.html
Topology. Eric W. Weisstein in Mathworld-A Wolfram Web Resource. Available at

Гипотеза Пуанкаре и особенности русского менталитета.

Если кратко: Безработный профессор, которому всего 40 лет, решил одну из 7 самых сложных задач человечества, живёт в панельке на окраине города с мамой и вместо того чтоб получить премию о которой мечтают все математики мира, ну и в придачу миллион долларов, он ушёл собирать грибы и просил его не беспокоить.

А теперь более подробно:

http://lenta.ru/news/2006/08/16/perelman/

Григорий Перельман, доказавший гипотезу Пуанкаре, отказывается от многочисленных наград, и денежных премий, которые присуждают ему за это достижение, сообщает газета Guardian. После широкомасштабной проверки доказательства, которая продолжалась почти четыре года, научное сообщество пришло к выводу, что решение Перельмана верно.

Гипотеза Пуанкаре относится к числу семи важнейших математических "задач тысячелетия”, за решение каждой из которых Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute) назначил премию в один миллион долларов. Таким образом, Перельман должен получить вознаграждение. Ученый не общается с прессой, но газете стало известно, что Перельман не хочет брать эти деньги. По словам математика, комитет, присуждавший награду, недостаточно квалифицирован, чтобы оценить его работу.

Владеть миллионом долларов в Питере небезопасно, – в шутку предполагает другую причину необычного поведения Перельмана профессиональное сообщество. Об этом рассказал газете Найджел Хитчин (Nigel Hitchin), профессор математики Оксфордского университета.

На следующей неделе, по слухам, будет объявлено, что Перельману присуждена самая престижная в данной сфере международная Филдсовская премия, состоящая из драгоценой медали и и денежного вознаграждения. Филдсовская премия считается математическим аналогом Нобелевской. Ее вручают раз в четыре года на международном математическом конгрессе, причем лауреаты премии не должны быть старше 40 лет. Перельман, который в 2006 году перешагнет сорокалетний рубеж и лишится шанса когда-либо получить этот приз, не хочет принимать и эту награду.

О Перельмане давно известно, что он избегает торжественных мероприятий и не любит, когда им восхищаются. Но в сложившейся ситуации поведение ученого выходит за рамки эксцентричности кабинетного теоретика. Перельман уже оставил учебную работу и отказывается от выполнения профессорских функций. Теперь он хочет спрятаться и от признания его заслуг перед математикой – делом всей его жизни.

Григорий Перельман работал над доказательством теоремы Пуанкаре восемь лет. В 2002 году он разместил решение задачи на сайте препринтов Лос-Аламосской научной лаборатории. До сих пор он так и не опубликовал своего труда в рецензируемом журнале, что является обязательным условием присуждения большинства премий.

Перельмана можно считать эталонным образцом продукции советского образования. Он родился в 1966 году в Ленинграде. В этом городе живет и сейчас. Перельман учился в специализированной школе № 239 с углубленным изучением математики. Побеждал на бессчетных олимпиадах. Был без экзаменов зачислен на матмех ЛГУ. Получал Ленинскую стипендию. После университета поступил в аспирантуру при Ленинградском отделении Математического института им.В.А.Стеклова, где и остался работать. В конце восьмидесятых Перельман переехал в США, профессорствовал в нескольких университетах, а затем вернулся на старое место.

Состояние питерского особняка графа Муравьева на Фонтанке, в котором располагается Математический институт, делает бессеребреничество Перельмана особенно неадекватным. Здание, как сообщает газета "Известия” может в любой момент разрушиться и упасть в реку. Закупки компьютерной техники (единственного оборудования, необходимого математикам) еще удается финансировать при помощи различных грантов, но реставрацию исторического сооружения благотворительные организации оплачивать не готовы.

==========================

http://www.newsinfo.ru/news/2006/08/news1325575.php

Математик-отшельник, доказавший одну из самых сложных научных гипотез – теорему Пуанкаре, не менее загадочный, чем сама проблема.

О нем известно немного. Поступил в институт по результатам школьных олимпиад, получал ленинскую стипендию. В питерской 239-й спецшколе его помнят - сын Якова Перельмана, автора знаменитого учебника "Занимательная физика". Фото Гриши Перельмана - на доске великих вместе с Лобаческим и Лейбницем.

"Он был такой отличник, только по физкультуре... А так была бы медаль", - вспоминает его преподаватель Тамара Ефимова, директор физмат-лицея 239 в интервью Первому каналу.

Он всегда был за чистую науку, против формальностей - это слова его бывшего школьного учителя, одного из немногих, с кем Перельман поддерживал связь все восемь лет поиска. Как он говорит, математику с работы пришлось уйти, потому что там надо было писать статьи-отчеты, а Пуанкаре поглощал все его время. Математика превыше всего.

Решению одной из семи нерешаемых математических задач Перельман положил восемь лет жизни. Он работал в одиночку, где-то на чердаке, тайком. Читал лекции в Америке, чтобы прокормиться дома. Ушел с работ, которая отвлекала от главной цели, не отвечает на звонки и не общается с прессой.

За решение одной из семи нерешаемых математических задач положен миллион долларов, это премия Филдса, нобелевка для математиков. Григорий Перельман стал основным кандидатом на ее получение.

Ученый это знает, но, судя по всему, в денежном признании явно не заинтересован. Как уверяют коллеги, даже документы на премию не представил.

"Как я понимаю, самого Григория Яковлевича миллион совершенно не волнует. – говорит Ильдар Ибрагимов, академик РАН. - На самом деле люди, которые в состоянии решить эти задачи, это в основном люди, которые будут работать не из-за этих денег. Их будет волновать нечто совсем другое".

Перельман опубликовал работу по гипотезе Пуанкаре единственный раз три года назад в Интернете. Скорее даже не работу, а набросок в 39 страниц. Написать более подробный отчет- с развернутыми доказательствами он не соглашается. Даже вице-президент Всемирного математического общества, который специально приехал в Петербург, чтобы найти Перельмана, не удалось этого сделать.

За прошедшие три года никому не удалось найти ошибку в расчетах Перельмана, как того требует регламент премии Филдса. Что и требовалось доказать.

==============================

http://elementy.ru/news/430288

Процесс доказательства гипотезы Пуанкаре сейчас, по-видимому, вступает в заключительную стадию. Три группы математиков окончательно разобрались в идеях Григория Перельмана и за последние пару месяцев представили свои версии полного доказательства этой гипотезы.

Гипотеза, сформулированная Пуанкаре в 1904 году, утверждает, что все трехмерные поверхности в четырехмерном пространстве, гомотопически эквивалентные сфере, гомеоморфны ей. Говоря простыми словами, если трехмерная поверхность кое в чем похожа на сферу, то, если ее расправить, она может стать только сферой и ничем иным. Подробности об этой гипотезе и об истории ее доказательства читайте в популярной заметке Проблемы 2000 года: гипотеза Пуанкаре в журнале «Компьютерра».

За доказательство гипотезы Пуанкаре Математический институт им. Клэя присудил премию в миллион долларов, что может показаться удивительным: ведь речь идет об очень частном, малоинтересном факте. На самом деле, для математиков важны не столько свойства трехмерной поверхности, сколько факт трудности самого доказательства. В этой задаче в концентрированном виде сформулировано то, что не удавалось доказать с помощью имевшихся ранее идей и методов геометрии и топологии. Она позволяет как бы заглянуть на уровень глубже, в тот пласт задач, который можно будет решить только с помощью идей «нового поколения».

Как и в ситуации с теоремой Ферма, выяснилось, что гипотеза Пуанкаре есть частный случай гораздо более общего утверждения о геометрических свойствах произвольных трехмерных поверхностей - гипотезы геометризации Тёрстона (Thurston"s Geometrization Conjecture). Поэтому усилия математиков были направлены не на решение этого частного случая, а на построение нового математического подхода, который способен справляться с такими задачами.

Прорыв в 2002-2003 годах совершил российский математик Григорий Перельман. В своих трех статьях math.DG/0211159, math.DG/0303109, math.DG/0307245, предложив ряд новых идей, он развил и довел до конца метод, предложенный в 1980-е годы Ричардом Гамильтоном. В своих работах Перельман утверждает, что построенная им теория позволяет доказать не только гипотезу Пуанкаре, но и гипотезу геометризации.

Суть метода состоит в том, что для геометрических объектов можно определить некоторое уравнение «плавной эволюции», похожее на уравнение ренормализационной группы в теорфизике. Исходная поверхность в ходе этой эволюции будет деформироваться и, как показал Перельман, в конце концов плавно перейдет именно в сферу. Сила этого подхода состоит в том, что, минуя все промежуточные моменты, можно сразу заглянуть «в бесконечность», в самый конец эволюции, и обнаружить там сферу.

Работы Перельмана положили начало интриге. В своих статьях он развил общую теорию и набросал ключевые моменты доказательства не только гипотезы Пуанкаре, но и гипотезы геометризации. Полного доказательства во всех деталях Перельман не представил, хотя утверждал, что обе гипотезы он доказал. В том же 2003 году Перельман совершил турне по США с серией лекций, на которых четко и подробно отвечал на любые технические вопросы слушателей.

Сразу же после опубликования препринтов Перельмана специалисты приступили к проверке ключевых моментов его теории, и ни одной ошибки до сих пор не найдено. Более того, за прошедшие годы несколько коллективов математиков смогли впитать предложенные Перельманом идеи до такой степени, чтобы приступить к записыванию полного доказательства «набело».

В мае 2006 года появилась работа B. Kleiner, J. Lott, math.DG/0605667, в которой был дан подробный вывод опущенных моментов в доказательстве Перельмана. (Кстати, эти авторы поддерживают веб-страничку, посвященную статьям Перельмана и связанным с ними работам.)

Затем в июне 2006 года в журнале Asian Journal of Mathematics была опубликована 327-страничная статья китайских математиков Huai-Dong Cao и Xi-Ping Zhu, озаглавленная «Полное доказательство гипотез Пуанкаре и геометризации - приложение теории Гамильтона-Перельмана о потоках Риччи». Сами авторы не претендуют на абсолютно новое доказательство, а лишь утверждают, что подход Перельмана действительно работает.

Наконец, на днях появился 473-страничная статья (или уже книга?) J. W. Morgan, G. Tian, math.DG/0607607, в которой авторы, по следам Перельмана, приводят свое доказательство гипотезы Пуанкаре (а не более общей гипотезы геометризации). Джон Морган (John Morgan) считается одним из главных специалистов по этой проблеме, и после выхода его работы можно, по-видимому считать, что гипотеза Пуанкаре окончательно доказана.

Интересно, кстати, что вначале статья китайских математиков распространялась только в бумажной версии по цене 69 долларов, так что далеко не все желающие имели возможность взглянуть на нее. Но уже на следующий день после появления в архиве препринтов статьи Моргана-Тяна на сайте Asian Journal of Mathematics появилась и электронная версия статьи.

Чья доводка доказательства Перельмана точнее и прозрачнее - покажет время. Не исключено, что в ближайшие годы оно упростится, как это случилось с теоремой Ферма. Пока что видно лишь увеличение объема публикаций: от 30-страничных статей Перельмана до толстой книжицы у Моргана и Тяна, но связано это не с усложнением доказательства, а с более подробным выводом всех промежуточных шагов.

А тем временем ожидается, что на Международном конгрессе математиков, который пройдет в августе этого года в Мадриде, будет «официально» объявлено об окончательном доказательстве гипотезы и, возможно, о том, кому будет присуждена премия Института Клэя. Кроме этого, ходят слухи, что Григорий Перельман станет одним из четырех филдсовских медалистов, что является высшим знаком отличия для молодых математиков.

Эта новость облетела средства массовой информации СНГ. 39-летний петербургский ученый ГРИГОРИЙ ПЕРЕЛЬМАН - реальный кандидат на получение Филдсовской премии (1 млн. долл.), высшей награды в математическом мире (как известно, Нобелевскую математикам не присваивают).

Французский математик Пуанкаре пытался выяснить, является ли трехмерное пространство сферой. Найти доказательства этого тезиса либо опровергнуть его он не смог. Из странных следствий гипотезы Пуанкаре, идущих вразрез с нашими житейскими представлениями, выделим такие: с помощью некоего сверхмощного телескопа, вглядываясь в космическую даль с Земли, можно вполне разглядеть родную... Землю либо, улетая в дальнее космическое путешествие, в конце концов оказаться в точке вылета.

Каждые несколько лет в научных журналах публикуются попытки доказать гипотезу Пуанкаре, но ни одно из предложенных решений пока не прошло сито научных проверок. В конце концов оказывалось, что доказательство некорректно. Григорий Перельман опубликовал свои работы в интернете в 2002 г., и никто не опроверг их (контрольный срок - 2 года). Мало того, многие видные ученые считают: решение Перельмана верно. И сетуют, что его труды очень сжаты, конспективны и занимают всего несколько десятков страниц (60).

Правила получения премии требуют публикации на страницах регулярно издающегося научного журнала и соблюдения еще некоторых формальностей. Петербуржец Перельман, получающий в родном институте около 200 долл. (6000 рублей), их игнорирует. Таковы его жизненные правила. Твердое следование им, возможно, и позволило достичь уникальных научных результатов. С оригиналом, столь соответствующим расхожим представлениям о гениях, пытались встретиться петербургские журналисты. Все, что им удалось выяснить: Перельман - завсегдатай концертов классической музыки Петербургской филармонии, питается кашами, безразличен к одежде, считается странноватым даже в своей научной среде и на дух не переносит прессу.

Так вот, о неожиданном следствии теоремы Пуанкаре. Миллион долларов - ничто для того, кто знает, что такое пространство. Нам бы железную уверенность г-на Перельмана.

Комментарий специалиста - члена-корреспондента Национальной академии наук Украины, математика Владимира Шарко:

Сейчас, кроме работ российского математика, появилось доказательство китайских профессоров Чжу Сипина и Лехай Цао, а второе представлено американцами, которых возглавляет Джон Морган. Но первенство, конечно, за Перельманом. Хотя фактически его доказательства нет. Именно из-за того, что оно не опубликовано, а существует лишь конспективно, в тезисах. Работа Перельмана «висит» на сайтах, точно так же, как любые другие неофициальные работы.

- Перельман действительно настолько эксцентричен?

Он милый, приятный в общении человек. Типичный петербургский интеллигент. Мы встречались на различных научных конференциях. Вряд ли его можно назвать странным. Возможно, его несколько раздражают журналисты, и он разыгрывает их.

Это только кажется, что премия уже в кармане, поэтому его поведение считают странным. Награды такого ранга требуют поддержки коллег, научного сообщества. А россияне, к сожалению, не могут оказать должной поддержки. Поэтому говорить о премии рановато. Хотя от других наград петербуржец действительно отказывался.

- Имеет ли какое-то прикладное значение открытие Перельмана?

Пока нет. Но, как правило, математические открытия со временем находят применение. Например, активно используются достижения математики в современном прогнозировании погоды. Сейчас с математиками тесно сотрудничают биологи. Ведь именно с помощью первых происходила расшифровка генома. Компьютеры тоже появились благодаря работам математиков. На самом деле это очень полезная и практическая наука.

- Могут похвастаться каким-то прорывом киевляне?

Самая приятная новость: в киевском Институте математики появляются молодые ребята. Не секрет, что было тяжелое время и люди уходили, особенно молодежь. Но директор института академик Анатолий Самойленко сумел удержать его на должном уровне, что было очень непросто. Теперь можно говорить о нормализации ситуации.

Недавно киевский парень из Политеха занял первое место на европейской студенческой олимпиаде. Что, в общем, свидетельствует о неплохом уровне преподавания математики, научной работы в Киеве. В Украине существуют известные математические школы: в Донецке, Харькове; начала возрождаться знаменитая в довоенное время львовская школа математиков. Возможно, и мы когда-нибудь порадуем научное сообщество яркими работами.

Моё отступление: Гипотеза Пуанкаре гласит: Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.