पोंकारे अनुमान: सूत्रीकरण और प्रमाण। अंतरिक्ष प्रमेय के रूप जिसे पेरेलमैन ने सरल शब्दों में सिद्ध किया

फोटो एन. चेतवेरिकोवा द्वारा शुद्ध गणित की अंतिम महान उपलब्धि को सेंट पीटर्सबर्ग निवासी ग्रिगोरी पेरेलमैन द्वारा 2002-2003 में पोंकारे अनुमान का प्रमाण कहा जाता है, जिसे 1904 में कहा गया था और कहा गया था: "हर जुड़ा हुआ, बस जुड़ा हुआ, कॉम्पैक्ट त्रि-आयामी मैनिफोल्ड बिना सीमा के गोले S 3 के समरूपी है।''

इस वाक्यांश में कई शब्द हैं जिन्हें मैं समझाने की कोशिश करूंगा ताकि उनका सामान्य अर्थ गैर-गणितज्ञों के लिए स्पष्ट हो (मेरा मानना ​​​​है कि पाठक ने हाई स्कूल से स्नातक किया है और अभी भी अपने स्कूल के कुछ गणित को याद करता है)।

आइए होमोमोर्फिज्म की अवधारणा से शुरुआत करें, जो टोपोलॉजी का केंद्र है। सामान्य तौर पर, टोपोलॉजी को अक्सर "रबर ज्यामिति" के रूप में परिभाषित किया जाता है, यानी, ज्यामितीय छवियों के गुणों के विज्ञान के रूप में जो बिना ब्रेक और ग्लूइंग के चिकनी विकृतियों के दौरान नहीं बदलते हैं, या अधिक सटीक रूप से, यदि एक-से-एक स्थापित करना संभव है -दो वस्तुओं के बीच एक और परस्पर निरंतर पत्राचार।

मग और डोनट के क्लासिक उदाहरण का उपयोग करके मुख्य विचार को समझाना सबसे आसान है। पहले को निरंतर विरूपण द्वारा दूसरे में बदला जा सकता है: ये आंकड़े स्पष्ट रूप से दिखाते हैं कि एक मग एक डोनट के लिए होमियोमॉर्फिक है, और यह तथ्य उनकी सतहों (द्वि-आयामी मैनिफोल्ड्स जिन्हें टोरस कहा जाता है) और भरे हुए निकायों (तीन) दोनों के लिए सच है -एक किनारे के साथ आयामी कई गुना)।

आइए हम परिकल्पना के निर्माण में आने वाले शेष शब्दों की व्याख्या करें।

1. बिना किनारे वाला त्रि-आयामी मैनिफोल्ड।यह एक ज्यामितीय वस्तु है जिसमें प्रत्येक बिंदु पर त्रि-आयामी गेंद के रूप में एक पड़ोस होता है। 3-मैनिफोल्ड के उदाहरणों में, सबसे पहले, संपूर्ण त्रि-आयामी स्थान, जिसे आर 3 द्वारा दर्शाया गया है, साथ ही आर 3 में बिंदुओं का कोई भी खुला सेट शामिल है, उदाहरण के लिए, एक ठोस टोरस (डोनट) का आंतरिक भाग। यदि हम एक बंद पूर्ण टोरस पर विचार करते हैं, अर्थात, इसके सीमा बिंदु (टोरस की सतह) जोड़ते हैं, तो हमें एक किनारे के साथ कई गुना मिलता है - किनारे के बिंदुओं में गेंद के रूप में पड़ोस नहीं होते हैं, बल्कि केवल रूप में होते हैं आधी गेंद का.

2. जुड़ा हुआ.यहां कनेक्टिविटी की अवधारणा सबसे सरल है। एक मैनिफ़ोल्ड तब जुड़ा होता है जब इसमें एक टुकड़ा होता है, या, कुछ समान, इसके किन्हीं दो बिंदुओं को एक सतत रेखा से जोड़ा जा सकता है जो इसकी सीमाओं से परे नहीं जाती है।

3. बस जुड़ा हुआ.सरलता से जुड़ाव की अवधारणा अधिक जटिल है। इसका मतलब है कि किसी दिए गए मैनिफोल्ड के भीतर पूरी तरह से स्थित किसी भी निरंतर बंद वक्र को इस मैनिफोल्ड को छोड़े बिना एक बिंदु पर आसानी से अनुबंधित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आर 3 में एक साधारण द्वि-आयामी क्षेत्र बस जुड़ा हुआ है (एक रबर बैंड, जिसे सेब की सतह पर किसी भी तरह से रखा जाता है, सेब से रबर बैंड को फाड़े बिना चिकनी विरूपण द्वारा आसानी से एक बिंदु पर खींचा जा सकता है) . दूसरी ओर, वृत्त और टोरस केवल जुड़े हुए नहीं हैं।

4. सघन.एक किस्म सघन होती है यदि उसकी किसी होमियोमोर्फिक छवि के आयाम सीमित हों। उदाहरण के लिए, एक रेखा पर एक खुला अंतराल (इसके सिरों को छोड़कर एक खंड के सभी बिंदु) गैर-कॉम्पैक्ट है, क्योंकि इसे लगातार एक अनंत रेखा तक बढ़ाया जा सकता है। लेकिन एक बंद खंड (सिरों के साथ) एक सीमा के साथ एक कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड है: किसी भी निरंतर विरूपण के लिए, छोर कुछ विशिष्ट बिंदुओं पर जाते हैं, और पूरे खंड को इन बिंदुओं को जोड़ने वाले एक बंधे हुए वक्र में जाना चाहिए।

आयाममैनिफोल्ड उस बिंदु की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या है जो उस पर "रहता है"। प्रत्येक बिंदु में संबंधित आयाम की डिस्क के रूप में एक पड़ोस होता है, यानी, एक-आयामी मामले में एक रेखा का अंतराल, दो आयामों में एक विमान पर एक चक्र, तीन आयामों में एक गेंद, आदि। बिंदु से टोपोलॉजी के दृष्टिकोण से, बिना किनारे के केवल दो एक-आयामी जुड़े हुए मैनिफोल्ड हैं: एक रेखा और वृत्त। इनमें से केवल वृत्त सघन है।

ऐसे स्थान का एक उदाहरण जो मैनिफोल्ड नहीं है, उदाहरण के लिए, प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक जोड़ी है - आखिरकार, दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर, किसी भी पड़ोस में एक क्रॉस का आकार होता है, इसमें कोई पड़ोस नहीं होता है अपने आप में केवल एक अंतराल हो (और अन्य सभी बिंदुओं पर ऐसे पड़ोस होते हैं)। ऐसे मामलों में, गणितज्ञों का कहना है कि हम एक विशेष किस्म से निपट रहे हैं जिसका एक विशेष बिंदु है।

द्वि-आयामी कॉम्पैक्ट मैनिफ़ोल्ड सर्वविदित हैं। यदि हम केवल विचार करें उन्मुख 1सीमा के बिना कई गुना, फिर टोपोलॉजिकल दृष्टिकोण से वे एक सरल, यद्यपि अनंत, सूची बनाते हैं: और इसी तरह। ऐसा प्रत्येक मैनिफ़ोल्ड एक गोले से कई हैंडलों को चिपकाकर प्राप्त किया जाता है, जिसकी संख्या को सतह का जीनस कहा जाता है।

1 स्थान की कमी के कारण, मैं गैर-उन्मुख मैनिफोल्ड्स के बारे में बात नहीं करूंगा, जिसका एक उदाहरण प्रसिद्ध क्लेन बोतल है - एक सतह जिसे स्व-प्रतिच्छेदन के बिना अंतरिक्ष में एम्बेड नहीं किया जा सकता है।

चित्र जीनस 0, 1, 2 और 3 की सतहों को दर्शाता है। इस सूची में गोले को सभी सतहों से अलग क्या बनाता है? यह पता चला है कि यह बस जुड़ा हुआ है: एक गोले पर किसी भी बंद वक्र को एक बिंदु पर अनुबंधित किया जा सकता है, लेकिन किसी अन्य सतह पर कोई हमेशा एक वक्र को इंगित कर सकता है जिसे सतह के साथ एक बिंदु पर अनुबंधित नहीं किया जा सकता है।

यह उत्सुक है कि सीमा के बिना त्रि-आयामी कॉम्पैक्ट मैनिफ़ोल्ड को एक अर्थ में वर्गीकृत किया जा सकता है, यानी, एक निश्चित सूची में व्यवस्थित किया जा सकता है, हालांकि दो-आयामी मामले में उतना सीधा नहीं है, लेकिन एक जटिल संरचना है। हालाँकि, 3डी क्षेत्र एस 3 इस सूची में ऊपर की सूची में 2डी क्षेत्र की तरह ही खड़ा है। तथ्य यह है कि एस 3 पर कोई भी वक्र एक बिंदु पर सिकुड़ता है, यह द्वि-आयामी मामले की तरह ही सिद्ध होता है। लेकिन विपरीत कथन, अर्थात् यह संपत्ति विशेष रूप से क्षेत्र के लिए अद्वितीय है, यानी, कि किसी भी अन्य त्रि-आयामी मैनिफोल्ड पर गैर-संकुचित वक्र हैं, बहुत मुश्किल है और बिल्कुल पोंकारे अनुमान की सामग्री का गठन करता है जिसके बारे में हम बात कर रहे हैं .

यह समझना महत्वपूर्ण है कि विविधता अपने आप रह सकती है; इसे एक स्वतंत्र वस्तु के रूप में सोचा जा सकता है, कहीं भी निहित नहीं। (एक सामान्य गोले की सतह पर द्वि-आयामी प्राणियों के रूप में रहने की कल्पना करें, तीसरे आयाम के अस्तित्व से अनजान।) सौभाग्य से, उपरोक्त सूची में सभी द्वि-आयामी सतहों को सामान्य आर 3 अंतरिक्ष में घोंसला बनाया जा सकता है, जिससे उन्हें आसानी होती है कल्पना करना. त्रि-आयामी क्षेत्र एस 3 के लिए (और सामान्य तौर पर सीमा के बिना किसी भी कॉम्पैक्ट त्रि-आयामी मैनिफोल्ड के लिए) अब ऐसा नहीं है, इसलिए इसकी संरचना को समझने के लिए कुछ प्रयास की आवश्यकता है।

जाहिरा तौर पर, त्रि-आयामी क्षेत्र एस 3 की टोपोलॉजिकल संरचना को समझाने का सबसे सरल तरीका एक-बिंदु संघनन का उपयोग करना है। अर्थात्, त्रि-आयामी क्षेत्र S 3 साधारण त्रि-आयामी (अनबाउंड) स्थान R 3 का एक-बिंदु संघनन है।

आइए सबसे पहले सरल उदाहरणों का उपयोग करके इस निर्माण को समझाएँ। आइए एक साधारण अनंत सीधी रेखा (अंतरिक्ष का एक-आयामी एनालॉग) लें और इसमें एक "असीम दूर" बिंदु जोड़ें, यह मानते हुए कि जब हम एक सीधी रेखा के साथ दाएं या बाएं चलते हैं, तो हम अंततः इस बिंदु पर पहुंचते हैं। टोपोलॉजिकल दृष्टिकोण से, एक अनंत रेखा और एक परिबद्ध खुली रेखा खंड (अंत बिंदु के बिना) के बीच कोई अंतर नहीं है। इस तरह के खंड को चाप के रूप में लगातार मोड़ा जा सकता है, सिरों को करीब लाया जा सकता है और जंक्शन पर लापता बिंदु को चिपकाया जा सकता है। हमें स्पष्ट रूप से एक वृत्त मिलेगा - एक गोले का एक आयामी एनालॉग।

उसी तरह, यदि मैं एक अनंत तल लेता हूं और अनंत पर एक बिंदु जोड़ता हूं, जिस पर मूल विमान की सभी सीधी रेखाएं, किसी भी दिशा में गुजरती हैं, तो हमें एक द्वि-आयामी (साधारण) क्षेत्र एस 2 मिलता है। इस प्रक्रिया को एक स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेपण का उपयोग करके देखा जा सकता है, जो उत्तरी ध्रुव एन के अपवाद के साथ, प्रत्येक बिंदु पी को गोले पर एक निश्चित बिंदु निर्दिष्ट करता है।

इस प्रकार, एक बिंदु के बिना एक गोला स्थलाकृतिक रूप से एक विमान के समान है, और एक बिंदु जोड़ने से विमान एक गोले में बदल जाता है।

सिद्धांत रूप में, बिल्कुल वही निर्माण त्रि-आयामी क्षेत्र और त्रि-आयामी अंतरिक्ष पर लागू होता है, केवल इसके कार्यान्वयन के लिए चौथे आयाम में प्रवेश करना आवश्यक है, और इसे चित्र में चित्रित करना इतना आसान नहीं है। इसलिए, मैं खुद को अंतरिक्ष आर 3 के एक-बिंदु संघनन के मौखिक विवरण तक सीमित रखूंगा।

कल्पना कीजिए कि हमारे भौतिक स्थान (जिसे हम, न्यूटन का अनुसरण करते हुए, तीन निर्देशांक x, y, z के साथ एक असीमित यूक्लिडियन स्थान मानते हैं) में एक बिंदु "अनंत पर" इस ​​तरह जोड़ा जाता है कि किसी भी सीधी रेखा में चलते समय जिस दिशा में आप वहां पहुंचेंगे (यानी, प्रत्येक स्थानिक रेखा एक वृत्त में बंद हो जाती है)। फिर हमें एक कॉम्पैक्ट त्रि-आयामी मैनिफोल्ड मिलता है, जो परिभाषा के अनुसार गोला S 3 है।

यह समझना आसान है कि गोला S 3 बस जुड़ा हुआ है। वास्तव में, इस गोले पर किसी भी बंद वक्र को थोड़ा स्थानांतरित किया जा सकता है ताकि वह जोड़े गए बिंदु से न गुज़रे। फिर हमें सामान्य स्थान R 3 में एक वक्र मिलता है, जो आसानी से समरूपता के माध्यम से एक बिंदु पर सिकुड़ जाता है, यानी, तीनों दिशाओं में निरंतर संपीड़न।

यह समझने के लिए कि किस्म एस 3 की संरचना कैसे की जाती है, इसके दो ठोस टोरी में विभाजन पर विचार करना बहुत शिक्षाप्रद है। यदि हम अंतरिक्ष आर 3 से ठोस टोरस को हटा दें, तो कुछ बहुत स्पष्ट नहीं रहेगा। और यदि अंतरिक्ष को एक गोले में संकुचित कर दिया जाए, तो यह पूरक भी एक ठोस टोरस में बदल जाता है। अर्थात्, गोला S 3 दो ठोस टोरी में विभाजित है जिनकी एक सामान्य सीमा है - एक टोरस।

यहां बताया गया है कि आप इसे कैसे समझ सकते हैं। आइए टोरस को हमेशा की तरह, एक गोल डोनट के रूप में आर 3 में एम्बेड करें, और एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचें - इस डोनट के रोटेशन की धुरी। हम अक्ष के माध्यम से एक मनमाना विमान खींचते हैं; यह हमारे ठोस टोरस को चित्र में हरे रंग में दिखाए गए दो वृत्तों के साथ काटेगा, और विमान का अतिरिक्त भाग लाल वृत्तों के एक सतत परिवार में विभाजित है। इनमें केंद्रीय अक्ष शामिल है, जिसे अधिक साहसपूर्वक हाइलाइट किया गया है, क्योंकि गोले S 3 में सीधी रेखा एक वृत्त में बंद हो जाती है। इस द्वि-आयामी चित्र से एक अक्ष के चारों ओर घूमने पर त्रि-आयामी चित्र प्राप्त होता है। घुमाए गए वृत्तों का एक पूरा सेट एक त्रि-आयामी शरीर को भर देगा, एक ठोस टोरस के लिए होमोमोर्फिक, जो केवल असामान्य लगेगा।

वास्तव में, इसमें केंद्रीय अक्ष एक अक्षीय वृत्त होगा, और शेष समांतरों की भूमिका निभाएंगे - वृत्त जो एक साधारण ठोस टोरस बनाते हैं।

3-गोले की तुलना करने के लिए, मैं एक कॉम्पैक्ट 3-मैनिफोल्ड का एक और उदाहरण दूंगा, अर्थात् एक त्रि-आयामी टोरस। एक त्रि-आयामी टोरस का निर्माण निम्नानुसार किया जा सकता है। आइए आरंभिक सामग्री के रूप में एक साधारण त्रि-आयामी घन लें:

इसमें किनारों के तीन जोड़े हैं: बाएँ और दाएँ, ऊपर और नीचे, आगे और पीछे। समानांतर चेहरों की प्रत्येक जोड़ी में, हम घन के किनारे पर स्थानांतरण द्वारा एक दूसरे से प्राप्त बिंदुओं को जोड़े में पहचानते हैं। अर्थात्, हम मान लेंगे (विशुद्ध रूप से, भौतिक विकृतियों के उपयोग के बिना) कि, उदाहरण के लिए, ए और ए" एक ही बिंदु हैं, और बी और बी" भी एक बिंदु हैं, लेकिन बिंदु ए से अलग हैं। सभी आंतरिक बिंदु घन के हम इस पर हमेशा की तरह विचार करेंगे। क्यूब अपने आप में एक किनारे के साथ कई गुना है, लेकिन ग्लूइंग हो जाने के बाद, किनारा अपने आप बंद हो जाता है और गायब हो जाता है। वास्तव में, घन में बिंदु ए और ए" के पड़ोस (वे बाएं और दाएं छायांकित चेहरों पर स्थित हैं) गेंदों के आधे हिस्से हैं, जो चेहरों को एक साथ चिपकाने के बाद, एक पूरी गेंद में विलीन हो जाते हैं, जो पड़ोस के रूप में कार्य करता है त्रि-आयामी टोरस का संगत बिंदु।

भौतिक स्थान के बारे में रोजमर्रा के विचारों के आधार पर 3-टोरस की संरचना को महसूस करने के लिए, आपको तीन परस्पर लंबवत दिशाओं को चुनने की आवश्यकता है: आगे, बाएं और ऊपर - और मानसिक रूप से विचार करें, जैसा कि विज्ञान कथा कहानियों में होता है, इनमें से किसी भी दिशा में आगे बढ़ते समय , काफी लंबा लेकिन सीमित समय, हम शुरुआती बिंदु पर लौटेंगे, लेकिन विपरीत दिशा से। यह भी "अंतरिक्ष का संघनन" है, लेकिन एक-बिंदु वाला नहीं जिसका उपयोग पहले गोले के निर्माण के लिए किया जाता था, लेकिन अधिक जटिल।

त्रि-आयामी टोरस पर गैर-संविदात्मक पथ होते हैं; उदाहरण के लिए, यह चित्र में खंड AA" है (टोरस पर यह एक बंद पथ का प्रतिनिधित्व करता है)। इसे अनुबंधित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि किसी भी निरंतर विरूपण के लिए बिंदु A और A" को अपने चेहरे के साथ चलना चाहिए, एक दूसरे के बिल्कुल विपरीत रहना चाहिए ( अन्यथा वक्र खुल जाएगा)।

तो, हम देखते हैं कि सरल रूप से जुड़े हुए और गैर-बस जुड़े हुए कॉम्पैक्ट 3-मैनिफोल्ड हैं। पेरेलमैन ने सिद्ध किया कि सरलता से जुड़ा हुआ मैनिफोल्ड बिल्कुल एक ही होता है।

प्रमाण का प्रारंभिक विचार तथाकथित "रिक्की प्रवाह" का उपयोग करना है: हम एक सरल रूप से जुड़ा हुआ कॉम्पैक्ट 3-मैनिफोल्ड लेते हैं, इसे एक मनमाना ज्यामिति प्रदान करते हैं (यानी दूरियों और कोणों के साथ कुछ मीट्रिक पेश करते हैं), और फिर विचार करते हैं रिक्की प्रवाह के साथ इसका विकास। रिचर्ड हैमिल्टन, जिन्होंने 1981 में इस विचार को प्रस्तावित किया था, ने आशा व्यक्त की कि यह विकास हमारी विविधता को एक क्षेत्र में बदल देगा। यह पता चला कि यह सच नहीं है - त्रि-आयामी मामले में, रिक्की प्रवाह कई गुना खराब करने में सक्षम है, यानी, इसे एक गैर-कई गुना बना देता है (एकवचन बिंदुओं के साथ कुछ, जैसा कि प्रतिच्छेदी रेखाओं के उपरोक्त उदाहरण में है) . पेरेलमैन, अविश्वसनीय तकनीकी कठिनाइयों पर काबू पाकर, आंशिक अंतर समीकरणों के भारी उपकरण का उपयोग करके, एकवचन बिंदुओं के पास रिक्की प्रवाह में सुधार इस तरह से पेश करने में कामयाब रहे कि विकास के दौरान मैनिफोल्ड की टोपोलॉजी नहीं बदलती, कोई एकवचन बिंदु उत्पन्न नहीं होते हैं, और अंत में यह एक गोल गोले में बदल जाता है। लेकिन हमें अंततः यह समझाना होगा कि यह रिक्की प्रवाह क्या है। हैमिल्टन और पेरेलमैन द्वारा उपयोग किए गए प्रवाह एक अमूर्त मैनिफोल्ड पर आंतरिक मीट्रिक में परिवर्तन को संदर्भित करते हैं, और इसे समझाना काफी कठिन है, इसलिए मैं खुद को विमान में एम्बेडेड एक-आयामी मैनिफोल्ड पर "बाहरी" रिक्की प्रवाह का वर्णन करने तक सीमित रखूंगा।

आइए यूक्लिडियन तल पर एक चिकने बंद वक्र की कल्पना करें, उस पर एक दिशा चुनें और प्रत्येक बिंदु पर इकाई लंबाई के एक स्पर्शरेखा वेक्टर पर विचार करें। फिर, चुनी हुई दिशा में वक्र के चारों ओर घूमने पर, यह वेक्टर कुछ कोणीय वेग के साथ घूमेगा, जिसे वक्रता कहा जाता है। उन स्थानों पर जहां वक्र तीव्र है, वक्रता (निरपेक्ष मान में) अधिक होगी, और जहां यह चिकनी है, वक्रता कम होगी।

यदि वेग वेक्टर समतल के आंतरिक भाग की ओर मुड़ता है, जिसे हमारे वक्र द्वारा दो भागों में विभाजित किया जाता है, तो हम वक्रता को सकारात्मक मानेंगे, और यदि यह बाहर की ओर मुड़ता है, तो हम वक्रता को नकारात्मक मानेंगे। यह समझौता उस दिशा पर निर्भर नहीं करता है जिसमें वक्र घुमाया गया है। विभक्ति बिंदुओं पर, जहां घूर्णन दिशा बदलता है, वक्रता 0 होगी। उदाहरण के लिए, त्रिज्या 1 के एक वृत्त में 1 की निरंतर सकारात्मक वक्रता होती है (यदि रेडियन में मापा जाता है)।

अब आइए स्पर्शरेखा सदिशों के बारे में भूल जाएं और, इसके विपरीत, वक्र के प्रत्येक बिंदु पर एक लंबवत सदिश संलग्न करें, जो किसी दिए गए बिंदु पर वक्रता की लंबाई के बराबर हो और यदि वक्रता सकारात्मक है तो अंदर की ओर निर्देशित हो, और यदि यह नकारात्मक है तो बाहर की ओर निर्देशित हो। , और फिर प्रत्येक बिंदु को उसकी लंबाई के समानुपाती गति से संबंधित वेक्टर की दिशा में ले जाएं। यहाँ एक उदाहरण है:

यह पता चलता है कि किसी समतल पर कोई भी बंद वक्र ऐसे विकास के दौरान समान तरीके से व्यवहार करता है, यानी, अंततः यह एक वृत्त में बदल जाता है। यह रिक्की प्रवाह का उपयोग करते हुए पोंकारे अनुमान के एक-आयामी एनालॉग का प्रमाण है (हालांकि, इस मामले में कथन स्वयं पहले से ही स्पष्ट है, यह सिर्फ इतना है कि प्रमाण की विधि यह दर्शाती है कि आयाम 3 में क्या होता है)।

आइए हम निष्कर्ष में ध्यान दें कि पेरेलमैन का तर्क न केवल पोंकारे अनुमान को साबित करता है, बल्कि बहुत अधिक सामान्य थर्स्टन ज्यामितिकरण अनुमान को भी साबित करता है, जो एक निश्चित अर्थ में सभी आम तौर पर कॉम्पैक्ट त्रि-आयामी मैनिफोल्ड्स की संरचना का वर्णन करता है। लेकिन यह विषय इस प्रारंभिक लेख के दायरे से परे है।

सर्गेई दुज़हिन,
भौतिकी और गणित के डॉक्टर विज्ञान,
वरिष्ठ शोधकर्ता
सेंट पीटर्सबर्ग शाखा
रूसी विज्ञान अकादमी का गणितीय संस्थान

एक प्रतिभाशाली गणितज्ञ और पेरिस के प्रोफेसर, हेनरी पोंकारे ने इस विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में काम किया। 1905 में आइंस्टीन के कार्य से स्वतंत्र होकर उन्होंने सापेक्षता के विशेष सिद्धांत के मुख्य सिद्धांतों को सामने रखा। और उन्होंने 1904 में अपनी प्रसिद्ध परिकल्पना तैयार की, इसलिए इसे हल करने में लगभग एक शताब्दी लग गई।

पोंकारे टोपोलॉजी के संस्थापकों में से एक थे - ज्यामितीय आकृतियों के गुणों का विज्ञान जो बिना टूटने के होने वाली विकृतियों के तहत नहीं बदलते हैं। उदाहरण के लिए, एक गुब्बारे को आसानी से विभिन्न आकारों में विकृत किया जा सकता है, जैसे वे पार्क में बच्चों के लिए करते हैं। लेकिन आपको गेंद को डोनट (या, ज्यामितीय भाषा में, टोरस) में मोड़ने के लिए काटने की आवश्यकता होगी - कोई अन्य रास्ता नहीं है। और इसके विपरीत: एक रबर डोनट लें और इसे एक गोले में "मोड़ने" का प्रयास करें। हालाँकि, यह अभी भी काम नहीं करेगा. उनके टोपोलॉजिकल गुणों के अनुसार, एक गोले और एक टोरस की सतहें असंगत, या गैर-होमियोमोर्फिक होती हैं। लेकिन इसके विपरीत, बिना "छेद" (बंद सतह) वाली कोई भी सतह होमियोमॉर्फिक होती है और विकृत होने और एक गोले में बदलने में सक्षम होती है।

यदि 19वीं शताब्दी में गोले और टोरस की द्वि-आयामी सतहों के बारे में सब कुछ तय कर लिया गया था, तो अधिक बहुआयामी मामलों के लिए इसमें अधिक समय लगा। यह, वास्तव में, पोंकारे अनुमान का सार है, जो पैटर्न को बहुआयामी मामलों तक विस्तारित करता है। थोड़ा सरल करते हुए, पोंकारे अनुमान कहता है: "प्रत्येक बस जुड़ा हुआ बंद एन-आयामी मैनिफोल्ड एक एन-आयामी क्षेत्र के लिए होमोमोर्फिक है।" यह हास्यास्पद है कि त्रि-आयामी सतहों वाला विकल्प सबसे कठिन निकला। 1960 में, परिकल्पना आयाम 5 और उच्चतर के लिए सिद्ध हुई, 1981 में - n=4 के लिए। बाधा बिल्कुल त्रि-आयामी थी।

1980 के दशक में प्रस्तावित विलियम थर्स्टन और रिचर्ड हैमिल्टन के विचारों को विकसित करते हुए, ग्रिगोरी पेरेलमैन ने त्रि-आयामी सतहों पर "सुचारू विकास" का एक विशेष समीकरण लागू किया। और वह यह दिखाने में सक्षम था कि मूल त्रि-आयामी सतह (यदि इसमें कोई असंतोष नहीं है) आवश्यक रूप से एक त्रि-आयामी क्षेत्र में विकसित होगी (यह एक चार-आयामी गेंद की सतह है, और यह 4-आयामी में मौजूद है) अंतरिक्ष)। कई विशेषज्ञों के अनुसार, यह एक "नई पीढ़ी" का विचार था, जिसका समाधान गणितीय विज्ञान के लिए नए क्षितिज खोलता है।

यह दिलचस्प है कि किसी कारण से पेरेलमैन ने स्वयं अपने निर्णय को अंतिम परिणाम तक लाने की जहमत नहीं उठाई। नवंबर 2002 में रिक्की प्रवाह और इसके ज्यामितीय अनुप्रयोगों के लिए प्रीप्रिंट में "सामान्य तौर पर" समाधान का वर्णन करने के बाद, मार्च 2003 में उन्होंने सबूत को पूरक किया और इसे प्रीप्रिंट रिक्की प्रवाह में तीन गुना सर्जरी के साथ प्रस्तुत किया, और साथ ही उन्होंने 2003 में कई विश्वविद्यालयों के निमंत्रण पर दिए गए व्याख्यानों की एक श्रृंखला में इस पद्धति पर रिपोर्ट दी। किसी भी समीक्षक को उनके द्वारा प्रस्तावित संस्करण में त्रुटियां नहीं मिलीं, लेकिन पेरेलमैन ने सहकर्मी-समीक्षित वैज्ञानिक प्रकाशन में कोई प्रकाशन प्रकाशित नहीं किया (जो, विशेष रूप से, पुरस्कार प्राप्त करने के लिए एक आवश्यक शर्त थी)। लेकिन 2006 में, उनकी पद्धति के आधार पर, प्रमाणों का एक पूरा सेट जारी किया गया, जिसमें अमेरिकी और चीनी गणितज्ञों ने समस्या की विस्तार से और पूरी तरह से जांच की, पेरेलमैन द्वारा छोड़े गए बिंदुओं को पूरक किया, और पोंकारे अनुमान का "अंतिम प्रमाण" तैयार किया।

1904 में, हेनरी पोंकारे ने प्रस्तावित किया कि कोई भी त्रि-आयामी वस्तु जिसमें त्रि-आयामी क्षेत्र के कुछ गुण हों, उसे 3-गोले में परिवर्तित किया जा सकता है। इस परिकल्पना को सिद्ध करने में 99 वर्ष लग गये। (चेतावनी! त्रि-आयामी क्षेत्र वैसा नहीं है जैसा आप सोचते हैं।) रूसी गणितज्ञ ने एक सदी पहले बताए गए पोंकारे अनुमान को साबित किया और त्रि-आयामी स्थानों के आकार की एक सूची का निर्माण पूरा किया। शायद उसे $1 मिलियन का बोनस मिलेगा।

चारों ओर एक नज़र रखना। आपके आस-पास की वस्तुएं, जैसे आप स्वयं, त्रि-आयामी अंतरिक्ष (3-मैनिफोल्ड) में घूमने वाले कणों का एक संग्रह हैं, जो कई अरबों प्रकाश वर्षों तक सभी दिशाओं में फैली हुई हैं।

मैनिफोल्ड्स गणितीय निर्माण हैं। गैलीलियो और केप्लर के समय से, वैज्ञानिकों ने गणित की किसी न किसी शाखा के संदर्भ में वास्तविकता का सफलतापूर्वक वर्णन किया है। भौतिकविदों का मानना ​​है कि दुनिया में सब कुछ त्रि-आयामी अंतरिक्ष में होता है और किसी भी कण की स्थिति को तीन संख्याओं द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, अक्षांश, देशांतर और ऊंचाई (आइए हम अभी के लिए स्ट्रिंग सिद्धांत में की गई धारणा को छोड़ दें कि इसके अलावा) जिन तीन आयामों का हम अवलोकन करते हैं, उनमें कई अतिरिक्त आयाम भी हैं)।

शास्त्रीय और पारंपरिक क्वांटम भौतिकी के अनुसार, अंतरिक्ष निश्चित और अपरिवर्तनीय है। साथ ही, सापेक्षता का सामान्य सिद्धांत इसे घटनाओं में एक सक्रिय भागीदार के रूप में मानता है: दो बिंदुओं के बीच की दूरी गुरुत्वाकर्षण तरंगों के गुजरने और पास में कितना पदार्थ और ऊर्जा स्थित है, इस पर निर्भर करती है। लेकिन न्यूटोनियन और आइंस्टीनियन दोनों भौतिकी में, अंतरिक्ष - अनंत या परिमित - किसी भी मामले में 3-गुना है। इसलिए, उन नींवों को पूरी तरह से समझने के लिए जिन पर लगभग सभी आधुनिक विज्ञान टिके हुए हैं, 3-मैनिफोल्ड्स के गुणों को समझना आवश्यक है (4-मैनिफोल्ड्स भी कम दिलचस्प नहीं हैं, क्योंकि अंतरिक्ष और समय मिलकर उनमें से एक बनाते हैं)।

गणित की वह शाखा जिसमें मैनिफोल्ड्स का अध्ययन किया जाता है, टोपोलॉजी कहलाती है। टोपोलॉजिस्ट ने सबसे पहले बुनियादी सवाल पूछे: 3-मैनिफोल्ड का सबसे सरल (यानी, सबसे कम जटिल) प्रकार क्या है? क्या इसके समान सरल भाई हैं या यह अद्वितीय है? वहाँ किस प्रकार के 3-मैनिफोल्ड्स हैं?

पहले प्रश्न का उत्तर लंबे समय से ज्ञात है: सबसे सरल कॉम्पैक्ट 3-मैनिफोल्ड एक स्थान है जिसे 3-गोलाकार कहा जाता है (गैर-कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड अनंत होते हैं या उनके किनारे होते हैं। नीचे, केवल कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड पर विचार किया गया है)। दो अन्य प्रश्न एक शताब्दी तक खुले रहे। केवल 2002 में उनका उत्तर रूसी गणितज्ञ ग्रिगोरी पेरेलमैन द्वारा दिया गया था, जो जाहिर तौर पर पोंकारे अनुमान को साबित करने में सक्षम थे।

ठीक एक सौ साल पहले, फ्रांसीसी गणितज्ञ हेनरी पोंकारे ने प्रस्तावित किया था कि 3-गोला अद्वितीय है और किसी अन्य कॉम्पैक्ट 3-मैनिफोल्ड में ऐसे गुण नहीं हैं जो इसे इतना सरल बनाते हैं। अधिक जटिल 3-मैनिफ़ोल्ड में सीमाएँ होती हैं जो ईंट की दीवार की तरह खड़ी होती हैं, या कुछ क्षेत्रों के बीच कई कनेक्शन होते हैं, जैसे कि जंगल का रास्ता जो शाखाएँ देता है और फिर जुड़ जाता है। 3-गोले के गुणों वाली किसी भी त्रि-आयामी वस्तु को स्वयं में परिवर्तित किया जा सकता है, इसलिए टोपोलॉजिस्ट के लिए यह बस इसकी एक प्रति प्रतीत होती है। पेरेलमैन का प्रमाण हमें तीसरे प्रश्न का उत्तर देने और सभी मौजूदा 3-मैनिफोल्ड्स को वर्गीकृत करने की भी अनुमति देता है।

आपको 3-गोले की कल्पना करने के लिए उचित मात्रा में कल्पना की आवश्यकता होगी (गोले का बहु-आयामी संगीत देखें)। सौभाग्य से, इसमें 2-गोले के साथ बहुत कुछ समान है, जिसका एक विशिष्ट उदाहरण एक गोल गुब्बारे का रबर है: यह द्वि-आयामी है, क्योंकि इस पर कोई भी बिंदु केवल दो निर्देशांक - अक्षांश और देशांतर द्वारा परिभाषित किया गया है। यदि आप एक शक्तिशाली आवर्धक कांच के नीचे इसके काफी छोटे क्षेत्र की जांच करते हैं, तो यह एक सपाट शीट के टुकड़े जैसा प्रतीत होगा। गुब्बारे पर रेंगते एक छोटे से कीड़े को यह एक सपाट सतह प्रतीत होगी। लेकिन अगर बूगर काफी देर तक एक सीधी रेखा में चलता है, तो अंततः वह अपने प्रस्थान बिंदु पर वापस आ जाएगा। उसी तरह, हम अपने ब्रह्मांड के आकार के 3-गोले को "साधारण" त्रि-आयामी अंतरिक्ष के रूप में देखेंगे। किसी भी दिशा में काफी दूर तक उड़ान भरने के बाद, हम अंततः इसका "परिक्रमा" कर लेंगे और अपने शुरुआती बिंदु पर वापस आ जाएंगे।

जैसा कि आपने अनुमान लगाया होगा, एक n-आयामी गोले को n-गोला कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 1-गोला हर किसी से परिचित है: यह सिर्फ एक वृत्त है।

ग्रिगोरी पेरेलमैन ने अप्रैल 2003 में प्रिंसटन विश्वविद्यालय में एक सेमिनार में पोंकारे अनुमान और थर्स्टन के ज्यामितिकरण कार्यक्रम के पूरा होने का अपना प्रमाण प्रस्तुत किया।

परिकल्पनाओं का परीक्षण

पोंकारे अनुमान का मामला ज़मीन पर उतरने से पहले आधी सदी बीत गई। 60 के दशक में XX सदी गणितज्ञों ने पाँच या अधिक आयामों वाले क्षेत्रों के लिए उसके समान कथनों को सिद्ध किया है। प्रत्येक मामले में, n-क्षेत्र वास्तव में एकमात्र और सरलतम n-मैनिफोल्ड है। अजीब बात है कि, 3- और 4-गोले की तुलना में बहुआयामी क्षेत्रों के लिए परिणाम प्राप्त करना आसान हो गया। चार आयामों का प्रमाण 1982 में सामने आया। और केवल 3-गोले के बारे में मूल पोंकारे अनुमान अपुष्ट रहा।

निर्णायक कदम नवंबर 2002 में उठाया गया, जब गणितीय संस्थान की सेंट पीटर्सबर्ग शाखा के गणितज्ञ ग्रिगोरी पेरेलमैन। स्टेकलोव ने लेख को वेबसाइट www.arxiv.org पर भेजा, जहां दुनिया भर के भौतिक विज्ञानी और गणितज्ञ अपनी वैज्ञानिक गतिविधियों के परिणामों पर चर्चा करते हैं। टोपोलॉजिस्ट ने तुरंत रूसी वैज्ञानिक के काम और पोंकारे अनुमान के बीच संबंध को समझ लिया, हालांकि लेखक ने सीधे तौर पर इसका उल्लेख नहीं किया। मार्च 2003 में, पेरेलमैन ने एक दूसरा लेख प्रकाशित किया और उस वर्ष के वसंत में उन्होंने संयुक्त राज्य अमेरिका का दौरा किया और मैसाचुसेट्स इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी और स्टोनी ब्रुक में स्टेट यूनिवर्सिटी ऑफ़ न्यूयॉर्क में कई सेमिनार दिए। प्रमुख संस्थानों के गणितज्ञों के कई समूहों ने तुरंत प्रस्तुत कार्यों का विस्तृत अध्ययन और त्रुटियों की खोज शुरू कर दी।

समीक्षा: पॉइंकेरेस परिकल्पना का प्रमाण

• पूरी शताब्दी तक, गणितज्ञों ने सभी त्रि-आयामी वस्तुओं के बीच 3-गोले की असाधारण सादगी और विशिष्टता के बारे में हेनरी पोंकारे की धारणा को साबित करने की कोशिश की।
• पोंकारे अनुमान का औचित्य अंततः युवा रूसी गणितज्ञ ग्रिगोरी पेरेलमैन के काम में सामने आया। उन्होंने त्रि-आयामी मैनिफोल्ड्स के वर्गीकरण का एक व्यापक कार्यक्रम भी पूरा किया।
• शायद हमारे ब्रह्माण्ड का आकार तीन गोले जैसा है। गणित और कण भौतिकी और सामान्य सापेक्षता के बीच अन्य दिलचस्प संबंध हैं।

स्टोनी ब्रुक में, पेरेलमैन ने दो सप्ताह में कई व्याख्यान दिए, प्रतिदिन तीन से छह घंटे बोलते हुए। उन्होंने सामग्री को बहुत स्पष्टता से प्रस्तुत किया और उठने वाले सभी प्रश्नों का उत्तर दिया। अंतिम परिणाम प्राप्त होने से पहले अभी भी एक छोटा कदम बाकी है, लेकिन इसमें कोई संदेह नहीं है कि यह पूरा होने वाला है। पहला लेख पाठक को अंतर्निहित विचारों से परिचित कराता है और इसे पूरी तरह से सत्यापित माना जाता है। दूसरे लेख में लागू मुद्दों और तकनीकी बारीकियों को शामिल किया गया है; यह अभी भी अपने पूर्ववर्ती के समान पूर्ण आत्मविश्वास को प्रेरित नहीं करता है।

2000 में, गणित संस्थान का नाम रखा गया। कैम्ब्रिज, मैसाचुसेट्स में क्ले ने सात सहस्राब्दी समस्याओं में से प्रत्येक को साबित करने के लिए $ 1 मिलियन का पुरस्कार स्थापित किया है, जिनमें से एक को पोंकारे अनुमान माना जाता है। इससे पहले कि कोई वैज्ञानिक पुरस्कार का दावा कर सके, उसके प्रमाण को प्रकाशित किया जाना चाहिए और दो साल तक सावधानीपूर्वक समीक्षा की जानी चाहिए।

पेरेलमैन का कार्य 90 के दशक में आयोजित अनुसंधान कार्यक्रम का विस्तार और समापन करता है। पिछली सदी कोलंबिया विश्वविद्यालय के रिचर्ड एस. हैमिल्टन द्वारा। 2003 के अंत में, अमेरिकी गणितज्ञ के कार्यों को क्ले इंस्टीट्यूट पुरस्कार से सम्मानित किया गया। पेरेलमैन कई बाधाओं को शानदार ढंग से पार करने में कामयाब रहे जिनका सामना हैमिल्टन नहीं कर सके।

वास्तव में, पेरेलमैन का प्रमाण, जिसकी शुद्धता पर अभी तक कोई भी सवाल नहीं उठा सका है, पोंकारे अनुमान की तुलना में बहुत व्यापक मुद्दों को हल करता है। कॉर्नेल विश्वविद्यालय के विलियम पी. थर्स्टन द्वारा प्रस्तावित ज्यामितिकरण प्रक्रिया 3-गोले के आधार पर 3-मैनिफ़ोल्ड के पूर्ण वर्गीकरण की अनुमति देती है, जो अपनी उत्कृष्ट सादगी में अद्वितीय है। यदि पोंकारे अनुमान गलत था, यानी यदि एक गोले के समान सरल कई स्थान होते, तो 3-मैनिफोल्ड का वर्गीकरण असीम रूप से अधिक जटिल हो जाता। पेरेलमैन और थर्स्टन को धन्यवाद, हमारे पास त्रि-आयामी अंतरिक्ष के सभी गणितीय रूप से संभावित रूपों की एक पूरी सूची है जो हमारे ब्रह्मांड में हो सकती है (यदि हम समय के बिना केवल अंतरिक्ष पर विचार करते हैं)।

रबर बैगल्स

पोंकारे अनुमान और पेरेलमैन के प्रमाण को बेहतर ढंग से समझने के लिए, आपको टोपोलॉजी पर करीब से नज़र डालनी चाहिए। गणित की इस शाखा में किसी वस्तु का आकार कोई मायने नहीं रखता, जैसे कि वह आटे से बनी हो जिसे किसी भी तरह से खींचा, दबाया और मोड़ा जा सकता है। हमें काल्पनिक आटे से बनी वस्तुओं या स्थानों के बारे में क्यों सोचना चाहिए? तथ्य यह है कि किसी वस्तु का सटीक आकार - उसके सभी बिंदुओं के बीच की दूरी - एक संरचनात्मक स्तर को संदर्भित करता है जिसे ज्यामिति कहा जाता है। परीक्षण से किसी वस्तु की जांच करके, टोपोलॉजिस्ट उसके मूलभूत गुणों की पहचान करते हैं जो ज्यामितीय संरचना पर निर्भर नहीं होते हैं। टोपोलॉजी का अध्ययन करना एक "प्लास्टिसिन मैन" को देखकर लोगों के सबसे सामान्य लक्षणों की खोज करने के समान है, जिसे किसी भी विशिष्ट व्यक्ति में बदला जा सकता है।

लोकप्रिय साहित्य में, अक्सर एक घिसी-पिटी बात कही जाती है कि, टोपोलॉजिकल दृष्टिकोण से, एक कप डोनट से अलग नहीं है। तथ्य यह है कि एक कप आटे को केवल सामग्री को कुचलकर डोनट में बदला जा सकता है, यानी। बिना किसी चीज़ को अंधा किए या छेद किए (सतह टोपोलॉजी देखें)। दूसरी ओर, एक गेंद से डोनट बनाने के लिए, आपको निश्चित रूप से इसमें एक छेद करना होगा या इसे एक सिलेंडर में रोल करना होगा और सिरों को ढालना होगा, इसलिए एक गेंद बिल्कुल भी डोनट नहीं है।

टोपोलॉजिस्ट गोले और डोनट सतहों में सबसे अधिक रुचि रखते हैं। अत: आपको ठोस पिंडों के स्थान पर गुब्बारों की कल्पना करनी चाहिए। उनकी टोपोलॉजी अभी भी अलग है क्योंकि एक गोलाकार गुब्बारे को रिंग के आकार में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है, जिसे टोरस कहा जाता है। सबसे पहले, वैज्ञानिकों ने यह पता लगाने का निर्णय लिया कि विभिन्न टोपोलॉजी वाली कितनी वस्तुएं मौजूद हैं और उन्हें कैसे चित्रित किया जा सकता है। 2-मैनिफोल्ड्स के लिए, जिन्हें हम सतहों को कॉल करने के आदी हैं, उत्तर सुरुचिपूर्ण और सरल है: सब कुछ "छेद" की संख्या या, जो समान है, हैंडल की संख्या से निर्धारित होता है (सतहों की टोपोलॉजी देखें)। 19वीं सदी का अंत. गणितज्ञों ने यह पता लगाया कि सतहों को कैसे वर्गीकृत किया जाए और यह निर्धारित किया कि उनमें से सबसे सरल क्षेत्र था। स्वाभाविक रूप से, टोपोलॉजिस्ट 3-मैनिफोल्ड्स के बारे में सोचने लगे: क्या 3-गोला अपनी सादगी में अद्वितीय है? उत्तर की खोज का सदियों पुराना इतिहास गलत कदमों और त्रुटिपूर्ण साक्ष्यों से भरा है।

हेनरी पोंकारे ने इस मुद्दे को बारीकी से उठाया। वह 20वीं सदी की शुरुआत के दो सबसे शक्तिशाली गणितज्ञों में से एक थे। (दूसरे डेविड गिल्बर्ट थे)। उन्हें अंतिम सार्वभौमिकतावादी कहा जाता था - उन्होंने शुद्ध और व्यावहारिक गणित दोनों के सभी क्षेत्रों में सफलतापूर्वक काम किया। इसके अलावा, पोंकारे ने आकाशीय यांत्रिकी, विद्युत चुंबकत्व के सिद्धांत के साथ-साथ विज्ञान के दर्शन के विकास में बहुत बड़ा योगदान दिया, जिसके बारे में उन्होंने कई लोकप्रिय किताबें लिखीं।

पोनकारे बीजगणितीय टोपोलॉजी के संस्थापक बने और, इसके तरीकों का उपयोग करते हुए, 1900 में उन्होंने एक वस्तु की एक टोपोलॉजिकल विशेषता तैयार की, जिसे होमोटॉपी कहा जाता है। मैनिफोल्ड की समरूपता निर्धारित करने के लिए, आपको मानसिक रूप से इसमें एक बंद लूप को विसर्जित करने की आवश्यकता है (सतहों की टोपोलॉजी देखें)। फिर आपको यह पता लगाना चाहिए कि क्या लूप को मैनिफोल्ड के अंदर ले जाकर एक बिंदु तक अनुबंधित करना हमेशा संभव है। टोरस के लिए, उत्तर नकारात्मक होगा: यदि आप टोरस की परिधि के चारों ओर एक लूप लगाते हैं, तो आप इसे एक बिंदु तक कसने में सक्षम नहीं होंगे, क्योंकि डोनट "छेद" रास्ते में आ जाएगा। होमोटोपी विभिन्न पथों की संख्या है जो एक लूप को सिकुड़ने से रोक सकती है।

क्षेत्रों का बहुआयामी संगीत

3-गोले की कल्पना करना इतना आसान नहीं है। गणितज्ञ जो उच्च-आयामी स्थानों के बारे में प्रमेयों को सिद्ध करते हैं, उन्हें अध्ययन की वस्तु की कल्पना करने की आवश्यकता नहीं होती है: वे अमूर्त गुणों से निपटते हैं, कम आयामों के साथ सादृश्यों पर आधारित अंतर्ज्ञान द्वारा निर्देशित होते हैं (ऐसे उपमाओं को सावधानी से व्यवहार किया जाना चाहिए और शाब्दिक रूप से नहीं लिया जाना चाहिए)। हम कम आयाम वाली वस्तुओं के गुणों के आधार पर 3-गोले पर भी विचार करेंगे।

1. आइए एक वृत्त और उसके चारों ओर के वृत्त को देखकर शुरुआत करें। गणितज्ञों के लिए, एक वृत्त एक द्वि-आयामी गेंद है, और एक वृत्त एक आयामी गोला है। इसके अलावा, किसी भी आकार की गेंद एक भरी हुई वस्तु है, जो तरबूज की याद दिलाती है, और एक गोला इसकी सतह है, जो गुब्बारे की तरह है। एक वृत्त एक-आयामी होता है क्योंकि उस पर एक बिंदु की स्थिति एक एकल संख्या द्वारा निर्दिष्ट की जा सकती है।

2. दो वृत्तों से हम एक द्वि-आयामी क्षेत्र का निर्माण कर सकते हैं, उनमें से एक को उत्तरी गोलार्ध में और दूसरे को दक्षिणी गोलार्ध में बदल सकते हैं। बस उन्हें एक साथ चिपकाना बाकी है, और 2-गोलाकार तैयार है।

3. आइए कल्पना करें कि एक चींटी उत्तरी ध्रुव से प्राइम और 180वें मेरिडियन (बाएं) द्वारा बनाए गए एक बड़े वृत्त पर रेंग रही है। यदि हम इसके पथ को दो मूल वृत्तों (दाहिनी ओर) पर मैप करते हैं, तो हम देखते हैं कि कीट एक सीधी रेखा (1) में उत्तरी वृत्त (ए) के किनारे तक जाता है, फिर सीमा पार करता है, संबंधित बिंदु से टकराता है दक्षिणी वृत्त और सीधी रेखा (2 और 3) का अनुसरण करना जारी रखता है। फिर चींटी फिर से किनारे (बी) पर पहुंचती है, उसे पार करती है और फिर से खुद को उत्तरी सर्कल पर पाती है, शुरुआती बिंदु - उत्तरी ध्रुव (4) की ओर बढ़ती है। ध्यान दें कि दुनिया भर में 2-गोले पर यात्रा करते समय, एक वृत्त से दूसरे वृत्त में जाने पर गति की दिशा उलट जाती है।

4. अब हमारे 2-गोले और उसमें मौजूद आयतन (एक त्रि-आयामी गेंद) पर विचार करें और उनके साथ एक वृत्त और एक वृत्त के समान कार्य करें: गेंद की दो प्रतियां लें और उनकी सीमाओं को एक साथ चिपका दें। यह स्पष्ट रूप से दिखाना असंभव और आवश्यक नहीं है कि कैसे गेंदें चार आयामों में विकृत हो जाती हैं और गोलार्धों के एक एनालॉग में बदल जाती हैं। यह जानना पर्याप्त है कि सतहों पर संबंधित बिंदु, अर्थात्। 2-गोले एक-दूसरे से उसी तरह जुड़े हुए हैं जैसे वृत्तों के मामले में होते हैं। दो गेंदों को जोड़ने का परिणाम एक 3-गोलाकार होता है - एक चार-आयामी गेंद की सतह। (चार आयामों में, जहां एक 3-गोलाकार और एक 4-गोला मौजूद होता है, किसी वस्तु की सतह त्रि-आयामी होती है।) आइए एक गेंद को उत्तरी गोलार्ध और दूसरे को दक्षिणी गोलार्ध कहें। वृत्तों के अनुरूप, ध्रुव अब गेंदों के केंद्र में स्थित हैं।

5. कल्पना करें कि विचाराधीन गेंदें अंतरिक्ष के बड़े खाली क्षेत्र हैं। मान लीजिए कि एक अंतरिक्ष यात्री रॉकेट पर उत्तरी ध्रुव से उड़ान भरता है। समय के साथ, यह भूमध्य रेखा (1) तक पहुंच जाता है, जो अब उत्तरी गेंद के चारों ओर एक गोला है। इसे पार करते हुए, रॉकेट दक्षिणी गोलार्ध में प्रवेश करता है और अपने केंद्र - दक्षिणी ध्रुव - से भूमध्य रेखा के विपरीत दिशा (2 और 3) तक एक सीधी रेखा में चलता है। वहां उत्तरी गोलार्ध में संक्रमण फिर से होता है, और यात्री उत्तरी ध्रुव पर लौट आता है, यानी। आरंभिक बिंदु तक (4). यह 4-आयामी गेंद की सतह पर दुनिया भर की यात्रा का परिदृश्य है! माना गया त्रि-आयामी क्षेत्र पोंकारे अनुमान में निर्दिष्ट स्थान है। शायद हमारा ब्रह्मांड वास्तव में तीन-गोले वाला है।
तर्क को पांच आयामों तक बढ़ाया जा सकता है और 4-गोले का निर्माण किया जा सकता है, लेकिन इसकी कल्पना करना बेहद मुश्किल है। यदि आप दो n-गेंदों को उनके आस-पास के (n-1)-गोले के साथ चिपकाते हैं, तो आपको (n+1)-गेंद को घेरने वाला एक n-गोला मिलता है।

एन-स्फीयर पर, कोई भी लूप, यहां तक ​​कि एक जटिल रूप से मुड़ा हुआ भी, हमेशा सुलझाया जा सकता है और एक बिंदु पर एक साथ खींचा जा सकता है। (लूप को अपने आप से गुजरने की अनुमति है।) पोंकारे ने माना कि 3-गोला ही एकमात्र 3-मैनिफोल्ड है जिस पर किसी भी लूप को एक बिंदु पर अनुबंधित किया जा सकता है। दुर्भाग्य से, वह कभी भी अपने अनुमान को साबित नहीं कर पाए, जिसे बाद में पोंकारे अनुमान के रूप में जाना गया। पिछले सौ वर्षों में, कई लोगों ने प्रमाण का अपना संस्करण प्रस्तुत किया है, लेकिन केवल इसकी भ्रांति के प्रति आश्वस्त होने के लिए। (स्पष्टीकरण में आसानी के लिए, मैं दो विशेष मामलों की उपेक्षा कर रहा हूं: तथाकथित गैर-ओरिएंटेबल मैनिफोल्ड्स और किनारों के साथ मैनिफोल्ड्स। उदाहरण के लिए, एक क्षेत्र जिसके कटे हुए खंड के साथ एक किनारा होता है, और मोबियस लूप में न केवल किनारे होते हैं , लेकिन गैर-उन्मुखी भी है।)

ज्यामितिकरण

पेरेलमैन का 3-मैनिफोल्ड्स का विश्लेषण ज्यामितिकरण प्रक्रिया से निकटता से संबंधित है। ज्यामिति वस्तुओं और कई गुनाओं के वास्तविक आकार से संबंधित है, जो अब आटे से नहीं, बल्कि चीनी मिट्टी से बने होते हैं। उदाहरण के लिए, एक कप और डोनट ज्यामितीय रूप से भिन्न होते हैं क्योंकि उनकी सतहें अलग-अलग तरह से घुमावदार होती हैं। ऐसा कहा जाता है कि एक कप और एक डोनट एक टोपोलॉजिकल टोरस के दो उदाहरण हैं जिन्हें अलग-अलग ज्यामितीय आकार दिए गए हैं।

यह समझने के लिए कि पेरेलमैन ने ज्यामितिकरण का उपयोग क्यों किया, 2-मैनिफोल्ड के वर्गीकरण पर विचार करें। प्रत्येक टोपोलॉजिकल सतह को एक अद्वितीय ज्यामिति सौंपी जाती है जिसकी वक्रता कई गुना समान रूप से वितरित होती है। उदाहरण के लिए, एक गोले के लिए, यह एक पूर्णतः गोलाकार सतह है। टोपोलॉजिकल क्षेत्र के लिए एक अन्य संभावित ज्यामिति एक अंडा है, लेकिन इसकी वक्रता हर जगह समान रूप से वितरित नहीं होती है: तेज छोर कुंद छोर की तुलना में अधिक घुमावदार होता है।

2-मैनिफोल्ड तीन ज्यामितीय प्रकार बनाते हैं (ज्यामितिकरण देखें)। गोले की विशेषता सकारात्मक वक्रता है। एक ज्यामितीय टोरस समतल होता है और इसमें शून्य वक्रता होती है। दो या दो से अधिक "छेद" वाले अन्य सभी 2-मैनिफोल्ड में नकारात्मक वक्रता होती है। वे काठी के समान एक सतह से मेल खाते हैं, जो आगे और पीछे ऊपर की ओर और बाईं और दाईं ओर नीचे की ओर झुकती है। पोंकारे ने पॉल कोएबे और फेलिक्स क्लेन के साथ मिलकर 2-मैनिफोल्ड्स का यह ज्यामितीय वर्गीकरण (ज्यामितिकरण) विकसित किया, जिनके नाम पर क्लेन बोतल का नाम रखा गया है।

3-मैनिफोल्ड्स के लिए एक समान विधि लागू करने की स्वाभाविक इच्छा है। क्या उनमें से प्रत्येक के लिए एक अद्वितीय विन्यास खोजना संभव है जिसमें वक्रता पूरी विविधता में समान रूप से वितरित की जाएगी?

यह पता चला कि 3-मैनिफोल्ड अपने द्वि-आयामी समकक्षों की तुलना में बहुत अधिक जटिल हैं और उनमें से अधिकांश को एक सजातीय ज्यामिति नहीं दी जा सकती है। उन्हें उन भागों में विभाजित किया जाना चाहिए जो आठ विहित ज्यामितियों में से एक के अनुरूप हों। यह प्रक्रिया किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने की याद दिलाती है।

सतही टोपोलॉजी

टोपोलॉजी में सटीक रूप, अर्थात ज्यामिति अप्रासंगिक है: वस्तुओं के साथ ऐसा व्यवहार किया जाता है मानो वे आटे से बनी हों और उन्हें खींचा, दबाया और मोड़ा जा सकता हो। हालाँकि, किसी भी चीज़ को काटा या चिपकाया नहीं जा सकता। इस प्रकार, एक छेद वाली कोई भी वस्तु, जैसे कॉफी कप (बाएं), डोनट या टोरस (दाएं) के बराबर है।

गोले (ए) में हैंडल जोड़कर कोई भी दो-आयामी मैनिफोल्ड या सतह (कॉम्पैक्ट ओरिएंटेबल ऑब्जेक्ट तक सीमित) बनाई जा सकती है। आइए एक को चिपकाएं और पहली तरह की सतह बनाएं, यानी। एक टोरस या डोनट (ऊपर दाएं), एक दूसरा जोड़ें - हमें दूसरे प्रकार की सतह मिलती है (बी), आदि।

सतहों के बीच 2-गोले की विशिष्टता यह है कि इसमें एम्बेडेड किसी भी बंद लूप को बिंदु (ए) पर अनुबंधित किया जा सकता है। टोरस पर, इसे मध्य छिद्र (बी) द्वारा रोका जा सकता है। 2-गोले को छोड़कर किसी भी सतह पर हैंडल होते हैं जो लूप को कसने से रोकते हैं। पोंकारे ने सुझाव दिया कि 3-गोलाकार त्रि-आयामी मैनिफोल्ड्स के बीच अद्वितीय है: केवल इस पर किसी भी लूप को एक बिंदु पर अनुबंधित किया जा सकता है।

यह वर्गीकरण प्रक्रिया पहली बार 70 के दशक के अंत में थर्स्टन द्वारा प्रस्तावित की गई थी। पिछली शताब्दी। अपने सहयोगियों के साथ मिलकर, उन्होंने इसमें से अधिकांश की पुष्टि की, लेकिन वे कुछ प्रमुख बिंदुओं (पोंकारे अनुमान सहित) को साबित करने में असमर्थ रहे। क्या त्रि-गोला अद्वितीय है? इस प्रश्न का विश्वसनीय उत्तर पहली बार पेरेलमैन के लेखों में दिखाई दिया।

किसी मैनिफोल्ड को कैसे ज्यामितीय बनाया जा सकता है और हर जगह एक समान वक्रता कैसे दी जा सकती है? आपको विभिन्न उभारों और अवकाशों के साथ कुछ मनमाना ज्यामिति लेने की आवश्यकता है, और फिर सभी अनियमितताओं को दूर करना होगा। 90 के दशक की शुरुआत में. XX सदी हैमिल्टन ने गणितज्ञ ग्रेगोरियो रिक्की-कर्बस्ट्रो के नाम पर रिक्की प्रवाह समीकरण का उपयोग करके 3-मैनिफोल्ड्स का विश्लेषण करना शुरू किया। यह कुछ हद तक ताप संचालन समीकरण के समान है, जो असमान रूप से गर्म शरीर में बहने वाले ताप प्रवाह का वर्णन करता है जब तक कि इसका तापमान हर जगह समान न हो जाए। उसी तरह, रिक्की प्रवाह समीकरण मैनिफोल्ड की वक्रता में बदलाव को निर्दिष्ट करता है जो सभी प्रोट्रूशियंस और अवकाशों के संरेखण की ओर ले जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आप अंडे से शुरुआत करेंगे तो वह धीरे-धीरे गोलाकार हो जाएगा।

ज्यामितिकरण

2-मैनिफोल्ड को वर्गीकृत करने के लिए, आप एकरूपीकरण या ज्यामितिकरण का उपयोग कर सकते हैं: उन्हें एक निश्चित ज्यामिति, एक कठोर रूप निर्दिष्ट करें। विशेष रूप से, प्रत्येक मैनिफ़ोल्ड को रूपांतरित किया जा सकता है ताकि उसकी वक्रता समान रूप से वितरित हो। गोला (ए) निरंतर सकारात्मक वक्रता वाला एक अद्वितीय आकार है: यह पहाड़ी की चोटी की तरह हर जगह घुमावदार है। टोरस (बी) को सपाट बनाया जा सकता है, अर्थात। सर्वत्र शून्य वक्रता वाला। ऐसा करने के लिए, आपको इसे काटकर सीधा करना होगा। परिणामी सिलेंडर को लंबाई में काटा जाना चाहिए और एक आयताकार विमान बनाने के लिए सामने लाया जाना चाहिए। दूसरे शब्दों में, एक टोरस को एक विमान पर मैप किया जा सकता है। प्रकार 2 और उच्चतर (सी) की सतहों को निरंतर नकारात्मक वक्रता दी जा सकती है, और उनकी ज्यामिति हैंडल की संख्या पर निर्भर करेगी। नीचे निरंतर नकारात्मक वक्रता वाली एक काठी के आकार की सतह है।

3-किस्मों को वर्गीकृत करना अधिक कठिन है। 3-मैनिफोल्ड को भागों में विभाजित करना होगा, जिनमें से प्रत्येक को आठ विहित 3-आयामी ज्यामिति में से एक में परिवर्तित किया जा सकता है। नीचे दिया गया उदाहरण (सरलता के लिए नीले रंग में 2-मैनिफोल्ड के रूप में दिखाया गया है) निरंतर सकारात्मक (ए), शून्य (बी) और निरंतर नकारात्मक (सी) वक्रता के साथ 3-ज्यामितियों से बना है, साथ ही 2 के "उत्पाद" भी हैं। -गोला और एक वृत्त (डी) और नकारात्मक वक्रता वाली सतहें और वृत्त (ई)।

हालाँकि, हैमिल्टन को कुछ कठिनाइयों का सामना करना पड़ा: कुछ मामलों में, रिक्की प्रवाह के कारण मैनिफोल्ड का संपीड़न होता है और एक असीम रूप से पतली गर्दन का निर्माण होता है। (यह ऊष्मा प्रवाह से भिन्न है: चुटकी बिंदुओं पर तापमान असीम रूप से उच्च होगा।) एक उदाहरण डम्बल के आकार का मैनिफोल्ड है। गोले पुल से सामग्री खींचकर बढ़ते हैं, जो बीच में एक बिंदु में सिकुड़ जाता है (कॉम्बैटिंग फीचर्स देखें)। एक अन्य मामले में, जब एक पतली छड़ मैनिफोल्ड से बाहर निकलती है, तो रिक्की प्रवाह एक तथाकथित सिगार के आकार की विलक्षणता की उपस्थिति का कारण बनता है। नियमित 3-मैनिफोल्ड में, किसी भी बिंदु का पड़ोस सामान्य त्रि-आयामी स्थान का एक टुकड़ा होता है, जिसे एकवचन चुटकी बिंदुओं के बारे में नहीं कहा जा सकता है। एक रूसी गणितज्ञ के काम ने इस कठिनाई को दूर करने में मदद की।

1992 में, अपनी पीएचडी थीसिस का बचाव करने के बाद, पेरेलमैन संयुक्त राज्य अमेरिका पहुंचे और स्टोनी ब्रुक में स्टेट यूनिवर्सिटी ऑफ़ न्यूयॉर्क में कई सेमेस्टर बिताए, और फिर दो साल बर्कले में कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय में बिताए। ज्यामिति की एक शाखा में कई महत्वपूर्ण और गहन परिणाम प्राप्त करके, उन्होंने जल्द ही एक उभरते सितारे के रूप में ख्याति अर्जित की। पेरेलमैन को यूरोपीय गणितीय सोसायटी से पुरस्कार से सम्मानित किया गया (जिसे उन्होंने अस्वीकार कर दिया) और गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में बोलने के लिए एक प्रतिष्ठित निमंत्रण प्राप्त किया (जिसे उन्होंने स्वीकार कर लिया)।

1995 के वसंत में, उन्हें कई प्रमुख गणितीय संस्थानों में पदों की पेशकश की गई, लेकिन उन्होंने अपने मूल सेंट पीटर्सबर्ग लौटने का फैसला किया और अनिवार्य रूप से दृश्य से गायब हो गए। कई वर्षों तक, उनकी गतिविधि का एकमात्र संकेत पूर्व सहयोगियों को लिखे गए पत्र थे जो उनके द्वारा प्रकाशित लेखों में हुई त्रुटियों का संकेत देते थे। उनके स्वयं के कार्यों की स्थिति के बारे में पूछताछ अनुत्तरित रही। और फिर 2002 के अंत में, कई लोगों को पेरेलमैन से एक ईमेल प्राप्त हुआ जिसमें उन्हें एक लेख के बारे में बताया गया जो उन्होंने एक गणितीय सर्वर को भेजा था। इस प्रकार पोंकारे अनुमान पर उनका हमला शुरू हुआ।

सुविधाओं से लड़ना

उपयोग करने का प्रयास कर रहा हूँरिक्की प्रवाह समीकरण पोंकारे अनुमान और 3-मैनिफोल्ड्स के ज्यामितीयकरण को साबित करने के लिए, वैज्ञानिकों को कठिनाइयों का सामना करना पड़ा, जिसे ग्रिगोरी पेरेलमैन दूर करने में कामयाब रहे। 3-मैनिफोल्ड के आकार को धीरे-धीरे बदलने के लिए रिक्की प्रवाह का उपयोग करने से कभी-कभी विलक्षणताएं उत्पन्न होती हैं। उदाहरण के लिए, जब किसी वस्तु के हिस्से में डम्बल (ए) का आकार होता है, तो गोले के बीच की ट्यूब एक बिंदु खंड पर चिपक सकती है, जो मैनिफोल्ड (बी) के गुणों का उल्लंघन करती है। यह भी संभव है कि तथाकथित सिगार के आकार की विशेषता दिखाई देगी।

पेरेलमैन ने दिखाया, कि "सर्जरी" सुविधाओं पर की जा सकती है। जब मैनिफोल्ड पिंच होने लगे, तो संकुचन बिंदु (सी) के दोनों ओर छोटे-छोटे खंड काट लें, कटे हुए बिंदुओं को छोटे गोले से ढक दें, और फिर रिक्की प्रवाह का फिर से उपयोग करें (डी)। यदि चुटकी दोबारा आती है, तो प्रक्रिया दोहराई जानी चाहिए। पेरेलमैन ने यह भी सिद्ध किया कि सिगार के आकार की विशेषता कभी प्रकट नहीं होती।

पेरेलमैन ने रिक्की के प्रवाह समीकरण में एक नया शब्द जोड़ा। इस परिवर्तन ने विशिष्टता की समस्या को समाप्त नहीं किया, लेकिन इसने अधिक गहन विश्लेषण की अनुमति दी। एक रूसी वैज्ञानिक ने दिखाया है कि डंबल के आकार के मैनिफोल्ड पर एक "सर्जिकल" ऑपरेशन किया जा सकता है: उभरते हुए संकुचन के दोनों तरफ एक पतली ट्यूब काट लें और गोलाकार टोपी के साथ गेंदों से उभरी हुई खुली ट्यूबों को सील कर दें। फिर किसी को रिक्की प्रवाह समीकरण के अनुसार "संचालित" मैनिफोल्ड को बदलना जारी रखना चाहिए, और उपरोक्त प्रक्रिया को सभी उभरते अवरोधों पर लागू करना चाहिए। पेरेलमैन ने यह भी दिखाया कि सिगार के आकार की विशेषताएं प्रकट नहीं हो सकतीं। इस प्रकार, किसी भी 3-मैनिफोल्ड को सजातीय ज्यामिति वाले भागों के एक सेट में घटाया जा सकता है।

जब रिक्की प्रवाह और "सर्जरी" को सभी संभावित 3-मैनिफोल्ड्स पर लागू किया जाता है, तो उनमें से कोई भी, यदि यह 3-गोले जितना सरल है (दूसरे शब्दों में, एक ही समरूपता द्वारा विशेषता), आवश्यक रूप से एक ही सजातीय ज्यामिति में कम हो जाता है के रूप में और 3-गोले. इसका मतलब है, टोपोलॉजिकल दृष्टिकोण से, प्रश्न में विविधता 3-क्षेत्र है। इस प्रकार, 3-गोला अद्वितीय है।

पेरेलमैन के लेखों का मूल्य न केवल पोंकारे अनुमान के प्रमाण में है, बल्कि विश्लेषण के नए तरीकों में भी है। दुनिया भर के वैज्ञानिक पहले से ही रूसी गणितज्ञ द्वारा प्राप्त परिणामों का उपयोग अपने काम में कर रहे हैं और उनके द्वारा विकसित विधियों को अन्य क्षेत्रों में लागू कर रहे हैं। यह पता चला कि रिक्की प्रवाह तथाकथित पुनर्सामान्यीकरण समूह से जुड़ा है, जो यह निर्धारित करता है कि कण टकराव ऊर्जा के आधार पर इंटरैक्शन की ताकत कैसे बदलती है। उदाहरण के लिए, कम ऊर्जा पर विद्युत चुम्बकीय संपर्क की ताकत को संख्या 0.0073 (लगभग 1/137) द्वारा दर्शाया जाता है। हालाँकि, जब दो इलेक्ट्रॉन लगभग प्रकाश की गति से आमने-सामने टकराते हैं, तो बल 0.0078 तक पहुँच जाता है। वह गणित जो भौतिक बलों में परिवर्तन का वर्णन करता है, उस गणित के समान है जो कई गुनाओं के ज्यामितिकरण का वर्णन करता है।

टकराव की ऊर्जा को बढ़ाना छोटी दूरी पर बल का अध्ययन करने के बराबर है। इसलिए, पुनर्सामान्यीकरण समूह एक चर आवर्धन कारक वाले माइक्रोस्कोप के समान है, जो आपको विस्तार के विभिन्न स्तरों पर प्रक्रिया का अध्ययन करने की अनुमति देता है। इसी तरह, रिक्की प्रवाह कई गुना देखने के लिए एक माइक्रोस्कोप है। एक आवर्धन पर दिखाई देने वाले उभार और अवसाद दूसरे आवर्धन पर गायब हो जाते हैं। यह संभावना है कि प्लैंक लंबाई पैमाने (लगभग $10^(-35)$ मी) पर वह स्थान जिसमें हम रहते हैं एक जटिल स्थलीय संरचना के साथ फोम जैसा दिखता है (लेख "अंतरिक्ष और समय के परमाणु", "दुनिया में" देखें) विज्ञान का", नंबर 4, 2004)। इसके अलावा, सामान्य सापेक्षता के समीकरण, जो गुरुत्वाकर्षण की विशेषताओं और ब्रह्मांड की बड़े पैमाने की संरचना का वर्णन करते हैं, रिक्की प्रवाह समीकरण से निकटता से संबंधित हैं। विरोधाभासी रूप से, हैमिल्टन द्वारा प्रयुक्त अभिव्यक्ति में जोड़ा गया पेरेलमैन शब्द स्ट्रिंग सिद्धांत में उत्पन्न हुआ है, जो गुरुत्वाकर्षण का क्वांटम सिद्धांत माना जाता है। यह संभव है कि रूसी गणितज्ञ के लेखों में वैज्ञानिकों को न केवल अमूर्त 3-मैनिफोल्ड्स के बारे में, बल्कि उस स्थान के बारे में भी, जिसमें हम रहते हैं, बहुत अधिक उपयोगी जानकारी मिलेगी।

ग्राहम पी. कोलिन्स, पीएच.डी., साइंटिफिक अमेरिकन में संपादक हैं। पोंकारे के प्रमेय के बारे में अधिक जानकारी www.sciam.com/ontheweb पर उपलब्ध है।

अतिरिक्त साहित्य:

1. 99 साल बाद पॉइंकेयर अनुमान: एक प्रगति रिपोर्ट। जॉन डब्ल्यू. मिल्नोर. फरवरी 2003। www.math.sunysb.edu/~jack/PREPRINTS/poiproof.pdf पर उपलब्ध है
2. जूल्स हेनरी पोंकारे' (जीवनी)। अक्टूबर 2003. www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Poincare.html पर उपलब्ध है
3. सहस्राब्दी समस्याएं। क्ले गणित संस्थान: www.claymath.org/millennium/
4. पेरेलमैन के रिक्की फ्लो पेपर्स पर नोट्स और कमेंट्री। ब्रूस क्लिनर और जॉन लोट द्वारा संकलित। www.math.lsa.umich.edu/research/ricciflow/perelman.html पर उपलब्ध है
5. टोपोलॉजी. मैथवर्ल्ड-ए वोल्फ्राम वेब रिसोर्स में एरिक डब्ल्यू वीसस्टीन। उपलब्ध है

पोंकारे की परिकल्पना और रूसी मानसिकता की विशेषताएं।

संक्षेप में: एक बेरोजगार प्रोफेसर, जो केवल 40 वर्ष का है, ने मानवता की 7 सबसे कठिन समस्याओं में से एक को हल कर लिया है, वह अपनी माँ के साथ शहर के बाहरी इलाके में एक पैनल हाउस में रहता है, और सभी गणितज्ञों को पुरस्कार प्राप्त करने के बजाय दुनिया के सपने में, और बूट करने के लिए एक मिलियन डॉलर, उसने मशरूम इकट्ठा करना छोड़ दिया और उसे परेशान न करने के लिए कहा।

और अब अधिक विस्तार से:

http://lenta.ru/news/2006/08/16/perelman/

गार्जियन अखबार की रिपोर्ट के अनुसार, पोंकारे अनुमान को साबित करने वाले ग्रिगोरी पेरेलमैन ने इस उपलब्धि के लिए उन्हें दिए गए कई पुरस्कारों और नकद पुरस्कारों से इनकार कर दिया है। लगभग चार वर्षों तक चली साक्ष्यों की व्यापक समीक्षा के बाद, वैज्ञानिक समुदाय ने निष्कर्ष निकाला कि पेरेलमैन का समाधान सही था।

पोंकारे अनुमान सात सबसे महत्वपूर्ण गणितीय "सहस्राब्दी की समस्याओं" में से एक है, जिनमें से प्रत्येक के समाधान के लिए क्ले गणित संस्थान ने एक मिलियन डॉलर का पुरस्कार दिया। इस प्रकार, पेरेलमैन को एक पुरस्कार मिलना चाहिए। वैज्ञानिक संवाद नहीं करते हैं प्रेस के साथ, लेकिन अखबार बन गया। यह ज्ञात है कि पेरेलमैन यह पैसा नहीं लेना चाहते हैं। गणितज्ञ के अनुसार, पुरस्कार देने वाली समिति उनके काम का मूल्यांकन करने के लिए पर्याप्त योग्य नहीं है।

पेशेवर समुदाय मजाक में पेरेलमैन के असामान्य व्यवहार का एक और कारण बताता है, "सेंट पीटर्सबर्ग में दस लाख डॉलर का मालिक होना सुरक्षित नहीं है।" ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी में गणित के प्रोफेसर निगेल हिचिन ने अखबार को इस बारे में बताया.

अफवाहों के मुताबिक, अगले हफ्ते यह घोषणा की जाएगी कि पेरेलमैन को इस क्षेत्र में सबसे प्रतिष्ठित अंतरराष्ट्रीय फील्ड्स मेडल से सम्मानित किया गया है, जिसमें एक कीमती पदक और एक मौद्रिक पुरस्कार शामिल है। फील्ड्स मेडल को नोबेल पुरस्कार के गणितीय समकक्ष माना जाता है। यह हर चार साल में अंतर्राष्ट्रीय गणितीय कांग्रेस में प्रदान किया जाता है, और पुरस्कार विजेताओं की आयु 40 वर्ष से अधिक नहीं होनी चाहिए। पेरेलमैन, जो 2006 में चालीस वर्ष के हो जायेंगे और इस पुरस्कार को प्राप्त करने का अवसर खो देंगे, इस पुरस्कार को भी स्वीकार नहीं करना चाहते हैं।

पेरेलमैन के बारे में यह लंबे समय से ज्ञात है कि वह औपचारिक कार्यक्रमों से बचते हैं और उन्हें प्रशंसा पसंद नहीं है। लेकिन वर्तमान स्थिति में, वैज्ञानिक का व्यवहार एक कुर्सी सिद्धांतकार की विलक्षणता से परे चला जाता है। पेरेलमैन ने पहले ही अपना शैक्षणिक कार्य छोड़ दिया है और प्राध्यापकीय कार्य करने से इनकार कर दिया है। अब वह गणित के क्षेत्र में अपनी सेवाओं - जो कि उनके पूरे जीवन का काम है - को मान्यता से छिपाना चाहता है।

ग्रिगोरी पेरेलमैन ने पोंकारे के प्रमेय के प्रमाण पर आठ वर्षों तक काम किया। 2002 में, उन्होंने लॉस एलामोस साइंटिफिक लेबोरेटरी प्रीप्रिंट वेबसाइट पर समस्या का समाधान पोस्ट किया। अब तक, उन्होंने कभी भी अपने काम को किसी सहकर्मी-समीक्षित पत्रिका में प्रकाशित नहीं किया है, जो कि अधिकांश पुरस्कारों के लिए एक शर्त है।

पेरेलमैन को सोवियत शिक्षा के उत्पादों का एक मानक उदाहरण माना जा सकता है। उनका जन्म 1966 में लेनिनग्राद में हुआ था। वह अब भी इसी शहर में रहते हैं. पेरेलमैन ने गणित के गहन अध्ययन के साथ विशेष स्कूल नंबर 239 में अध्ययन किया। उन्होंने अनगिनत ओलंपिक जीते। मुझे बिना परीक्षा के लेनिनग्राद स्टेट यूनिवर्सिटी में गणित और यांत्रिकी में नामांकित किया गया था। लेनिन छात्रवृत्ति प्राप्त की। विश्वविद्यालय के बाद, उन्होंने वी.ए. स्टेक्लोव गणितीय संस्थान की लेनिनग्राद शाखा में स्नातक विद्यालय में प्रवेश लिया, जहाँ वे काम करते रहे। अस्सी के दशक के उत्तरार्ध में, पेरेलमैन संयुक्त राज्य अमेरिका चले गए, कई विश्वविद्यालयों में पढ़ाया और फिर अपने पुराने स्थान पर लौट आए।

फॉन्टंका पर काउंट मुरावियोव की सेंट पीटर्सबर्ग हवेली की स्थिति, जहां गणितीय संस्थान स्थित है, पेरेलमैन की चांदी की कमी को विशेष रूप से अपर्याप्त बनाती है। इज़वेस्टिया अखबार की रिपोर्ट के अनुसार, इमारत किसी भी क्षण ढह सकती है और नदी में गिर सकती है। कंप्यूटर उपकरण (गणितज्ञों के लिए आवश्यक एकमात्र उपकरण) की खरीद को अभी भी विभिन्न अनुदानों की मदद से वित्तपोषित किया जा सकता है, लेकिन धर्मार्थ संगठन तैयार नहीं हैं ऐतिहासिक इमारत के जीर्णोद्धार के लिए भुगतान करना।

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http://www.newsinfo.ru/news/2006/08/news1325575.php

एक साधु गणितज्ञ जिसने सबसे कठिन वैज्ञानिक परिकल्पनाओं में से एक पोंकारे के प्रमेय को सिद्ध किया, वह समस्या से कम रहस्यमय नहीं है।

उसके बारे में बहुत कम जानकारी है. मैंने स्कूल ओलंपियाड के परिणामों के आधार पर संस्थान में प्रवेश किया और लेनिन छात्रवृत्ति प्राप्त की। सेंट पीटर्सबर्ग स्पेशल स्कूल नंबर 239 में, उन्हें प्रसिद्ध पाठ्यपुस्तक "एंटरटेनिंग फिजिक्स" के लेखक याकोव पेरेलमैन के बेटे के रूप में याद किया जाता है। ग्रिशा पेरेलमैन की तस्वीर - लोबचेव्स्की और लीबनिज़ के साथ महानों के बोर्ड पर।

चैनल वन के साथ एक साक्षात्कार में भौतिकी और गणित लिसेयुम 239 की निदेशक, उनकी शिक्षिका तमारा एफिमोवा याद करती हैं, "वह इतना उत्कृष्ट छात्र था, केवल शारीरिक शिक्षा में... अन्यथा पदक होता।"

वह हमेशा शुद्ध विज्ञान के पक्ष में थे, औपचारिकताओं के ख़िलाफ़ - ये उनके पूर्व स्कूल शिक्षक के शब्द हैं, जो उन कुछ लोगों में से एक थे जिनके साथ पेरेलमैन अपनी खोज के पूरे आठ वर्षों के दौरान संपर्क में रहे। जैसा कि वे कहते हैं, गणितज्ञ को अपनी नौकरी छोड़नी पड़ी क्योंकि उन्हें लेख और रिपोर्ट लिखनी पड़ती थी, और पोनकारे ने अपना सारा समय व्यतीत कर दिया। गणित पहले आता है.

पेरेलमैन ने अपने जीवन के आठ साल सात अघुलनशील गणितीय समस्याओं में से एक को हल करने में बिताए। वह अकेले, कहीं अटारी में, गुप्त रूप से काम करता था। घर पर अपना खर्चा चलाने के लिए उन्होंने अमेरिका में व्याख्यान दिया। उन्होंने वह नौकरी छोड़ दी जिसने उन्हें मुख्य लक्ष्य से विचलित कर दिया, कॉल का जवाब नहीं दिया और प्रेस के साथ संवाद नहीं किया।

सात अघुलनशील गणितीय समस्याओं में से एक को हल करने के लिए दस लाख डॉलर का पुरस्कार दिया जाता है; यह फील्ड्स मेडल है, जो गणितज्ञों के लिए नोबेल पुरस्कार है। ग्रिगोरी पेरेलमैन इसे प्राप्त करने वाले मुख्य उम्मीदवार बने।

वैज्ञानिक यह जानता है, लेकिन, जाहिर है, वह स्पष्ट रूप से मौद्रिक मान्यता में दिलचस्पी नहीं रखता है। सहकर्मियों के अनुसार, उन्होंने पुरस्कार के लिए दस्तावेज़ भी जमा नहीं किए।

रूसी एकेडमी ऑफ साइंसेज के शिक्षाविद इल्डार इब्रागिमोव कहते हैं, ''जैसा कि मैं समझता हूं, ग्रिगोरी याकोवलेविच खुद दस लाख की परवाह नहीं करते हैं।'' ''वास्तव में, जो लोग इन समस्याओं को हल करने में सक्षम हैं, वे ज्यादातर ऐसे लोग हैं जो काम नहीं करेंगे इस पैसे की वजह से। वे मुझे पूरी तरह से अलग चीज़ के बारे में चिंतित करेंगे।"

पेरेलमैन ने पोंकारे अनुमान पर पहली बार तीन साल पहले इंटरनेट पर काम प्रकाशित किया था। अधिक संभावना यह है कि यह कोई कृति भी नहीं, बल्कि 39 पृष्ठों का एक रेखाचित्र है। वह विस्तृत साक्ष्यों के साथ अधिक विस्तृत रिपोर्ट लिखने के लिए सहमत नहीं हैं। यहां तक ​​कि विश्व गणितीय सोसायटी के उपाध्यक्ष, जो विशेष रूप से पेरेलमैन को खोजने के लिए सेंट पीटर्सबर्ग आए थे, भी ऐसा करने में विफल रहे।

पिछले तीन वर्षों में, कोई भी पेरेलमैन की गणना में त्रुटि नहीं ढूंढ पाया है, जैसा कि फील्ड्स पुरस्कार नियमों के अनुसार आवश्यक है। क्यू.ई.डी.

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http://elementy.ru/news/430288

पोंकारे अनुमान को सिद्ध करने की प्रक्रिया अब स्पष्ट रूप से अपने अंतिम चरण में प्रवेश कर रही है। गणितज्ञों के तीन समूहों ने अंततः ग्रिगोरी पेरेलमैन के विचारों का पता लगा लिया है और पिछले कुछ महीनों में इस परिकल्पना के पूर्ण प्रमाण के अपने संस्करण प्रस्तुत किए हैं।

1904 में पोंकारे द्वारा तैयार किए गए एक अनुमान में कहा गया है कि चार-आयामी अंतरिक्ष में सभी त्रि-आयामी सतहें जो एक गोले के समरूप रूप से समतुल्य हैं, उसके लिए होमोमोर्फिक हैं। सरल शब्दों में, यदि कोई त्रि-आयामी सतह कुछ हद तक एक गोले के समान है, तो यदि इसे फैलाया जाए, तो यह केवल एक गोला बन सकता है और कुछ नहीं। इस अनुमान और इसके प्रमाण के इतिहास के बारे में विवरण के लिए, कंप्यूटररा पत्रिका में लोकप्रिय लेख 2000 की समस्याएं: पोंकारे का अनुमान पढ़ें।

पोंकारे अनुमान के प्रमाण के लिए, गणितीय संस्थान। क्ले को एक मिलियन डॉलर का पुरस्कार दिया गया, जो आश्चर्यजनक लग सकता है: आखिरकार, हम एक बहुत ही निजी, अरुचिकर तथ्य के बारे में बात कर रहे हैं। वास्तव में, गणितज्ञों के लिए त्रि-आयामी सतह के गुण उतने अधिक महत्वपूर्ण नहीं हैं जितना कि यह तथ्य कि प्रमाण स्वयं कठिन है। यह समस्या एक संकेंद्रित रूप में तैयार होती है जिसे ज्यामिति और टोपोलॉजी के पहले से मौजूद विचारों और तरीकों का उपयोग करके सिद्ध नहीं किया जा सकता है। यह आपको समस्याओं की उस परत को गहराई से देखने की अनुमति देता है जिसे केवल "नई पीढ़ी" के विचारों की मदद से हल किया जा सकता है।

जैसा कि फ़र्मेट के प्रमेय के साथ स्थिति में था, यह पता चला कि पोंकारे अनुमान मनमानी त्रि-आयामी सतहों के ज्यामितीय गुणों के बारे में बहुत अधिक सामान्य कथन का एक विशेष मामला है - थर्स्टन का ज्यामितिकरण अनुमान। इसलिए, गणितज्ञों के प्रयासों का उद्देश्य नहीं था इस विशेष मामले को हल करना, लेकिन एक नया गणितीय दृष्टिकोण बनाना जो ऐसी समस्याओं से निपट सके।

यह सफलता 2002-2003 में रूसी गणितज्ञ ग्रिगोरी पेरेलमैन द्वारा की गई थी। अपने तीन लेखों गणित.डीजी/0211159, गणित.डीजी/0303109, गणित.डीजी/0307245 में, कई नए विचारों का प्रस्ताव करते हुए, उन्होंने 1980 के दशक में रिचर्ड हैमिल्टन द्वारा प्रस्तावित विधि को विकसित और पूरा किया। अपने कार्यों में, पेरेलमैन का दावा है कि उनके द्वारा निर्मित सिद्धांत न केवल पोंकारे अनुमान को साबित करना संभव बनाता है, बल्कि ज्यामितीयकरण परिकल्पना को भी साबित करता है।

विधि का सार यह है कि ज्यामितीय वस्तुओं के लिए सैद्धांतिक भौतिकी में पुनर्सामान्यीकरण समूह के समीकरण के समान, "सुचारू विकास" के कुछ समीकरण को परिभाषित करना संभव है। इस विकास के दौरान प्रारंभिक सतह विकृत हो जाएगी और, जैसा कि पेरेलमैन ने दिखाया, अंततः आसानी से एक गोले में बदल जाएगी। इस दृष्टिकोण की ताकत यह है कि, सभी मध्यवर्ती क्षणों को दरकिनार करते हुए, आप तुरंत विकास के अंत में "अनंत में" देख सकते हैं, और वहां एक क्षेत्र की खोज कर सकते हैं।

पेरेलमैन के कार्यों ने साज़िश की शुरुआत को चिह्नित किया। अपने लेखों में, उन्होंने एक सामान्य सिद्धांत विकसित किया और न केवल पोंकारे अनुमान, बल्कि ज्यामितीयकरण परिकल्पना के प्रमाण में मुख्य बिंदुओं को रेखांकित किया। पेरेलमैन ने सभी विवरणों में पूर्ण प्रमाण प्रदान नहीं किया, हालांकि उन्होंने दावा किया कि उन्होंने दोनों परिकल्पनाओं को सिद्ध कर दिया है। इसके अलावा 2003 में, पेरेलमैन ने व्याख्यानों की एक श्रृंखला के साथ संयुक्त राज्य अमेरिका का दौरा किया, जिसके दौरान उन्होंने श्रोताओं के किसी भी तकनीकी प्रश्न का स्पष्ट और विस्तार से उत्तर दिया।

पेरेलमैन के प्रीप्रिंट के प्रकाशन के तुरंत बाद, विशेषज्ञों ने उनके सिद्धांत के प्रमुख बिंदुओं की जांच शुरू कर दी, और अभी तक एक भी त्रुटि नहीं पाई गई है। इसके अलावा, पिछले वर्षों में, गणितज्ञों की कई टीमें पेरेलमैन द्वारा प्रस्तावित विचारों को इस हद तक आत्मसात करने में सक्षम हुई हैं कि उन्होंने संपूर्ण प्रमाण को "स्पष्ट रूप में" लिखना शुरू कर दिया है।

मई 2006 में, बी. क्लेनर, जे. लोट का एक पेपर, गणित.डीजी/0605667 प्रकाशित हुआ, जिसमें पेरेलमैन के प्रमाण में छोड़े गए बिंदुओं की विस्तृत व्युत्पत्ति दी गई थी। (वैसे, ये लेखक पेरेलमैन के लेखों और संबंधित कार्यों के लिए समर्पित एक वेब पेज बनाए रखते हैं।)

फिर जून 2006 में, एशियन जर्नल ऑफ मैथमेटिक्स ने चीनी गणितज्ञ हुआई-डोंग काओ और शी-पिंग झू द्वारा 327 पेज का एक पेपर प्रकाशित किया, जिसका शीर्षक था "पोंकारे और ज्यामितिकरण अनुमानों का एक पूर्ण प्रमाण - रिक्की के हैमिल्टन-पेरेलमैन सिद्धांत का एक अनुप्रयोग" बहता है।" लेखक स्वयं पूरी तरह से नए प्रमाण होने का दावा नहीं करते हैं, बल्कि केवल यह दावा करते हैं कि पेरेलमैन का दृष्टिकोण वास्तव में काम करता है।

अंत में, दूसरे दिन जे. डब्ल्यू. मॉर्गन, जी. तियान, गणित.डीजी/0607607 का 473 पेज का लेख (या यह पहले से ही एक किताब है?) सामने आया, जिसमें लेखक, पेरेलमैन के नक्शेकदम पर चलते हुए, अपना परिचय देते हैं पोंकारे अनुमान का प्रमाण (और अधिक सामान्य ज्यामितिकरण परिकल्पना नहीं)। जॉन मॉर्गन को इस समस्या के मुख्य विशेषज्ञों में से एक माना जाता है, और उनके काम के प्रकाशन के बाद, यह स्पष्ट रूप से माना जा सकता है कि पोंकारे अनुमान अंततः सिद्ध हो गया है।

वैसे, यह दिलचस्प है कि सबसे पहले चीनी गणितज्ञों का लेख केवल $69 की कीमत पर एक पेपर संस्करण में वितरित किया गया था, इसलिए हर किसी को इसे देखने का अवसर नहीं मिला। लेकिन मॉर्गन-तियान का लेख प्रीप्रिंट आर्काइव में छपने के अगले ही दिन, लेख का एक इलेक्ट्रॉनिक संस्करण एशियन जर्नल ऑफ मैथमेटिक्स वेबसाइट पर दिखाई दिया।

समय बताएगा कि पेरेलमैन के साक्ष्य का परिशोधन किसका अधिक सटीक और पारदर्शी है। यह संभव है कि आने वाले वर्षों में यह सरल हो जाएगा, जैसा कि फ़र्मेट के प्रमेय के साथ हुआ था। अब तक, हम केवल प्रकाशनों की मात्रा में वृद्धि देख सकते हैं: पेरेलमैन के 30 पेज के लेखों से लेकर मॉर्गन और तियान की एक मोटी किताब तक, लेकिन यह प्रमाण की जटिलता के कारण नहीं है, बल्कि अधिक विस्तृत व्युत्पत्ति के कारण है। सभी मध्यवर्ती चरणों में से.

इस बीच, अनुमान का अंतिम प्रमाण और, शायद, क्ले इंस्टीट्यूट पुरस्कार से किसे सम्मानित किया जाएगा, इस अगस्त में मैड्रिड में गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में "आधिकारिक तौर पर" घोषित होने की उम्मीद है। इसके अलावा, ऐसी अफवाहें हैं कि ग्रिगोरी पेरेलमैन चार फील्ड मेडलिस्टों में से एक बनेंगे, जो युवा गणितज्ञों के लिए सर्वोच्च सम्मान है।

यह खबर सीआईएस मीडिया में फैल गई। 39 वर्षीय सेंट पीटर्सबर्ग वैज्ञानिक ग्रिगोरी पेरेलमैन फील्ड्स मेडल ($1 मिलियन) के वास्तविक उम्मीदवार हैं, जो गणितीय दुनिया का सर्वोच्च पुरस्कार है (जैसा कि ज्ञात है, नोबेल पुरस्कार गणितज्ञों को नहीं दिया जाता है)।

फ्रांसीसी गणितज्ञ पॉइंकेयर ने यह पता लगाने की कोशिश की कि क्या त्रि-आयामी अंतरिक्ष एक गोला है। उन्हें इस थीसिस का कोई प्रमाण नहीं मिला या इसका खंडन नहीं हो सका। पोंकारे परिकल्पना के अजीब परिणामों के बीच, जो हमारे रोजमर्रा के विचारों के विपरीत हैं, हम निम्नलिखित पर प्रकाश डालते हैं: कुछ सुपर-शक्तिशाली दूरबीन की मदद से, पृथ्वी से ब्रह्मांडीय दूरी में झाँकते हुए, आप अपने मूल निवासी को स्पष्ट रूप से देख सकते हैं... पृथ्वी, या, एक लंबी अंतरिक्ष यात्रा पर उड़ते हुए, प्रस्थान बिंदु पर समाप्त होती है।

हर कुछ वर्षों में, पोंकारे अनुमान को साबित करने के प्रयास वैज्ञानिक पत्रिकाओं में प्रकाशित होते हैं, लेकिन प्रस्तावित समाधानों में से कोई भी अभी तक वैज्ञानिक परीक्षण में उत्तीर्ण नहीं हुआ है। अंत में यह स्पष्ट हुआ कि प्रमाण गलत था। ग्रिगोरी पेरेलमैन ने 2002 में इंटरनेट पर अपना काम प्रकाशित किया, और किसी ने भी उनका खंडन नहीं किया (नियंत्रण अवधि - 2 वर्ष)। इसके अलावा कई प्रमुख वैज्ञानिकों का मानना ​​है कि पेरेलमैन का निर्णय सही है। और वे शिकायत करते हैं कि उनकी रचनाएँ बहुत संक्षिप्त, संक्षिप्त हैं और केवल कुछ दर्जन पृष्ठ (60) लेती हैं।

पुरस्कार प्राप्त करने के नियमों के अनुसार नियमित रूप से प्रकाशित वैज्ञानिक पत्रिका के पन्नों में प्रकाशन और कुछ अन्य औपचारिकताओं का अनुपालन आवश्यक है। पीटर्सबर्ग निवासी पेरेलमैन, जो अपने गृह संस्थान में लगभग 200 डॉलर (6,000 रूबल) कमाते हैं, उनकी उपेक्षा करते हैं। ये उनके जीवन के नियम हैं. उनके दृढ़ पालन से अद्वितीय वैज्ञानिक परिणाम प्राप्त करना संभव हो सका है। सेंट पीटर्सबर्ग के पत्रकारों ने मूल से मिलने की कोशिश की, जो प्रतिभाओं के बारे में लोकप्रिय विचारों के अनुरूप है। वे यह सब पता लगाने में कामयाब रहे: पेरेलमैन सेंट पीटर्सबर्ग फिलहारमोनिक के शास्त्रीय संगीत समारोहों में नियमित हैं, दलिया खाते हैं, कपड़ों के प्रति उदासीन हैं, अपने वैज्ञानिक समुदाय में भी उन्हें अजीब माना जाता है और प्रेस पसंद नहीं है।

तो, पोंकारे के प्रमेय के एक अप्रत्याशित परिणाम के बारे में। एक मिलियन डॉलर उस व्यक्ति के लिए कुछ भी नहीं है जो जानता है कि अंतरिक्ष क्या है। हम श्री पेरेलमैन के लौह आत्मविश्वास को चाहेंगे।

एक विशेषज्ञ की टिप्पणी - यूक्रेन की नेशनल एकेडमी ऑफ साइंसेज के संबंधित सदस्य, गणितज्ञ व्लादिमीर शार्को:

अब, रूसी गणितज्ञ के कार्यों के अलावा, चीनी प्रोफेसर झू ज़िपिंग और लेहाई काओ द्वारा एक प्रमाण सामने आया है, और दूसरा जॉन मॉर्गन के नेतृत्व में अमेरिकियों द्वारा प्रस्तुत किया गया है। लेकिन चैंपियनशिप निश्चित रूप से पेरेलमैन की है। हालांकि असल में इसका कोई सबूत नहीं है. सटीक रूप से क्योंकि यह प्रकाशित नहीं हुआ है, लेकिन केवल संक्षेप में, सार रूप में मौजूद है। पेरेलमैन का काम किसी भी अन्य अनौपचारिक काम की तरह ही वेबसाइटों पर "लटका" रहता है।

- क्या पेरेलमैन सचमुच इतना सनकी है?

वह बात करने में एक मधुर, सुखद व्यक्ति है। एक विशिष्ट सेंट पीटर्सबर्ग बुद्धिजीवी। हम विभिन्न वैज्ञानिक सम्मेलनों में मिले। इसे शायद ही अजीब कहा जा सकता है. शायद वह पत्रकारों से कुछ नाराज़ हैं और उनके साथ मज़ाक कर रहे हैं।

ऐसा लगता है कि बोनस पहले से ही उसकी जेब में है, इसलिए उसका व्यवहार अजीब माना जाता है। इस रैंक के पुरस्कारों के लिए सहकर्मियों और वैज्ञानिक समुदाय के समर्थन की आवश्यकता होती है। और रूसी, दुर्भाग्य से, पर्याप्त सहायता प्रदान नहीं कर सकते। इसलिए अभी पुरस्कार के बारे में बात करना जल्दबाजी होगी. हालाँकि सेंट पीटर्सबर्ग निवासी ने वास्तव में अन्य पुरस्कारों से इनकार कर दिया।

- क्या पेरेलमैन की खोज का कोई व्यावहारिक महत्व है?

अभी तक नहीं। लेकिन, एक नियम के रूप में, गणितीय खोजों को अंततः आवेदन मिलता है। उदाहरण के लिए, आधुनिक मौसम पूर्वानुमान में गणित की उपलब्धियों का सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। जीवविज्ञानी अब गणितज्ञों के साथ मिलकर काम करते हैं। आख़िरकार, पहले की मदद से ही जीनोम को समझा गया था। गणितज्ञों के काम की बदौलत ही कंप्यूटर भी सामने आए। यह वास्तव में एक अत्यंत उपयोगी एवं व्यावहारिक विज्ञान है।

- क्या कीव के लोग किसी सफलता का दावा कर सकते हैं?

सबसे सुखद समाचार: युवा लोग कीव गणित संस्थान में उपस्थित हो रहे हैं। यह कोई रहस्य नहीं है कि यह एक कठिन समय था और लोग चले गए, विशेषकर युवा लोग। लेकिन संस्थान के निदेशक, शिक्षाविद् अनातोली समोइलेंको, इसे उचित स्तर पर बनाए रखने में कामयाब रहे, जो बहुत मुश्किल था। अब हम स्थिति को सामान्य करने के बारे में बात कर सकते हैं।'

हाल ही में, पॉलिटेक्निक के एक कीव लड़के ने यूरोपीय छात्र ओलंपियाड में प्रथम स्थान प्राप्त किया। जो, सामान्य तौर पर, कीव में गणित शिक्षण और वैज्ञानिक कार्य के अच्छे स्तर का संकेत देता है। यूक्रेन में प्रसिद्ध गणितीय स्कूल हैं: डोनेट्स्क, खार्कोव में; गणितज्ञों का प्रसिद्ध युद्ध-पूर्व लविवि स्कूल पुनर्जीवित होने लगा। शायद किसी दिन हम शानदार कार्यों से वैज्ञानिक समुदाय को प्रसन्न करेंगे।

मेरा विषयांतर: पोंकारे अनुमान कहता है: सीमा के बिना प्रत्येक सरल रूप से जुड़ा हुआ कॉम्पैक्ट त्रि-आयामी मैनिफोल्ड एक त्रि-आयामी क्षेत्र के लिए होमियोमॉर्फिक है।