Noteikumi sakņu salīdzināšanai. Kā ātri iegūt kvadrātsaknes

Skaitļa n-tā sakne ir skaitlis, kas, paaugstinot to līdz šai pakāpei, dod skaitli, no kura tiek iegūta sakne. Visbiežāk darbības tiek veiktas ar kvadrātsaknēm, kas atbilst 2 grādiem. Iegūstot sakni, bieži vien nav iespējams to skaidri noteikt, un rezultāts ir skaitlis, ko nevar attēlot kā dabisku daļu (transcendentālu). Bet, izmantojot dažus paņēmienus, jūs varat ievērojami vienkāršot piemēru risinājumu ar saknēm.

Jums būs nepieciešams

• – skaitļa saknes attēlojums;
• – darbības ar grādiem;
• – saīsinātās reizināšanas formulas;
• - kalkulators.

Instrukcijas

1. Ja absolūta precizitāte nav nepieciešama, izmantojiet kalkulatoru, risinot piemērus ar saknēm. Lai izvilktu skaitļa kvadrātsakni, ierakstiet to uz tastatūras un vienkārši nospiediet atbilstošo pogu, kas parāda saknes zīmi. Kā parasti, kalkulatori ņem kvadrātsakni. Bet, lai aprēķinātu augstāko jaudu saknes, izmantojiet skaitļa paaugstināšanas funkciju (inženiertehniskajā kalkulatorā).

2. Lai atrastu kvadrātsakni, palieliniet skaitli līdz pakāpei 1/2, kuba sakni līdz 1/3 un tā tālāk. Tajā pašā laikā stingri ņemiet vērā, ka, iegūstot pāra grādu saknes, skaitlim jābūt pozitīvam; gluži pretēji, kalkulators vienkārši nedos rezultātu. Vai tas ir saistīts ar faktu, ka, paaugstinot līdz pat pakāpei, katrs skaitlis būs pozitīvs, piemēram, (-2)^4=(-2)? (-2)? (-2)? (-2)=16. Lai iegūtu visu kvadrātsakni, ja iespējams, izmantojiet naturālo skaitļu kvadrātu tabulu.

3. Ja jums tuvumā nav kalkulatora vai jums ir nepieciešama beznosacījuma precizitāte aprēķinos, izmantojiet sakņu īpašības, kā arī dažādas formulas, lai vienkāršotu izteiksmes. Ir iespējams iegūt daļējas saknes no daudziem skaitļiem. Lai to izdarītu, izmantojiet īpašību, ka 2 skaitļu reizinājuma sakne ir vienāda ar šo skaitļu sakņu reizinājumu?m?n=?m??n.

4. Piemērs. Aprēķināt izteiksmes vērtību (?80-?45)/?5. Tiešais aprēķins neko nedos, jo neviena sakne netiek iegūta pilnībā. Pārveidojiet izteiksmi (?16?5-?9?5)/?5=(?16??5-?9??5)/?5=?5?(?16-?9)/?5. Samaziniet skaitītāju un saucēju par?5, iegūstat (?16-?9)=4-3=1.

5. Ja radikālā izteiksme vai pati sakne ir iebūvēta pakāpē, tad, izvelkot sakni, izmantojiet īpašību, ka radikālas izteiksmes eksponentu var dalīt ar saknes pakāpi. Ja dalīšana tiek veikta pilnībā, numurs tiek ievadīts zem saknes. Pieņemsim, ka ?5^4=5?=25. Piemērs. Aprēķiniet izteiksmes vērtību (?3+?5)?(?3-?5). Izmantojiet kvadrātveida starpības formulu un iegūstiet (?3)?-(?5)?=3-5=-2.

Parasta daļa ir kaprīzs skaitlis. Laiku pa laikam ir jācieš, lai atrastu problēmas risinājumu frakcija un iesniedziet to pareizajā formā. Iemācījusies izlemt piemēri Ar frakcija, jūs varat viegli tikt galā ar šo nepatīkamo lietu.

Instrukcijas

1. Pārskatiet daļskaitļu saskaitīšanu un atņemšanu. Piemēram, 5/2+10/5. Samaziniet abas daļas līdz kopsaucējam. Lai to izdarītu, atrodiet skaitli, kuru bez atlikuma var dalīt gan ar pirmās, gan otrās daļas saucēju. Mūsu gadījumā tas ir skaitlis 10. Pārveidojiet iepriekš minētās daļskaitļus, izrādās 25/10+20/10. Tagad saskaitiet skaitītājus un atstājiet saucēju nemainīgu. Izrādās 45/10. Jūs varat samazināt iegūto daļu, tas ir, dalīt skaitītāju un saucēju ar to pašu skaitli. Izrādās 9/2. Izvēlieties visu daļu. Atrodiet lielāko skaitli, ko bez atlikuma var dalīt ar saucēju. Šis skaitlis ir 8. Sadaliet to ar saucēju - tā būs visa daļa. Izrādās, ka kopējais ir 4 1/2. Dariet to pašu, atņemot daļskaitļus.

2. Pārskatiet daļskaitļu reizināšanu. Šeit viss ir primitīvs. Reiziniet skaitītājus un saucējus kopā. Piemēram, 2/5 reizināts ar 4/2 ir vienāds ar 8/10. Samaziniet daļu, lai iegūtu 4/5.

3. Apskatiet dalāmās daļas. Veicot šo darbību, apgrieziet vienu no daļskaitļiem un pēc tam reiziniet skaitītājus un saucējus. Teiksim, 2/5 dalīts ar 4/2 - jūs saņemat 2/5 reizināt ar 2/4 - jūs iegūstat 4/20. Samaziniet daļu, lai iegūtu 1/5.

Video par tēmu

Kvadrātsakņu dalīšana vienkāršo daļu. Kvadrātsakņu klātbūtne padara risināšanu nedaudz sarežģītāku, taču daži noteikumi padara darbu ar frakcijām salīdzinoši vienkāršu. Galvenais, kas jāatceras, ir tas, ka faktori tiek sadalīti faktoros, bet radikālas izteiksmes - radikālās izteiksmēs. Kvadrātsakne var būt arī saucējā.

Soļi

Radikālo izteicienu dalījums

Pierakstiet daļu. Ja izteiksme netiek parādīta kā daļskaitlis, pārrakstiet to kā tādu. Tādējādi ir vieglāk sekot līdzi kvadrātsakņu dalīšanas procesam. Atcerieties, ka horizontālā josla apzīmē dalījuma zīmi.

Izmantojiet vienu saknes zīmi. Ja gan daļskaitļa skaitītājam, gan saucējam ir kvadrātsaknes, rakstiet to radikālas izteiksmes zem vienas saknes zīmes, lai vienkāršotu atrisināšanas procesu. Radikāla izteiksme ir izteiksme (vai tikai skaitlis), kas atrodas zem saknes zīmes.

Sadaliet radikālas izteiksmes. Sadaliet vienu skaitli ar citu (kā parasti) un ierakstiet rezultātu zem saknes zīmes.

Vienkāršot radikāla izpausme (ja nepieciešams). Ja radikālā izteiksme vai viens no tās faktoriem ir ideāls kvadrāts, vienkāršojiet izteiksmi. Ideāls kvadrāts ir skaitlis, kas ir kāda vesela skaitļa kvadrāts. Piemēram, 25 ir ideāls kvadrāts, jo 5 × 5 = 25 (\displeja stils 5\reizes 5 = 25).

Radikālas izpausmes faktori

1. Pierakstiet daļu. Ja izteiksme netiek parādīta kā daļskaitlis, pārrakstiet to kā tādu. Tādējādi ir vieglāk sekot līdzi kvadrātsakņu dalīšanas procesam, īpaši, ja tiek ņemtas vērā radikālas izteiksmes. Atcerieties, ka horizontālā josla apzīmē dalījuma zīmi.

   Izklājiet faktors katru radikālo izteiksmi. Skaitlis zem saknes zīmes tiek ņemts vērā tāpat kā jebkurš vesels skaitlis. Uzrakstiet faktorus zem saknes zīmes.

   Vienkāršot daļskaitļa skaitītājs un saucējs. Lai to izdarītu, zem saknes zīmes izņemiet faktorus, kas ir pilni kvadrāti. Ideāls kvadrāts ir skaitlis, kas ir kāda vesela skaitļa kvadrāts. Radikālās izteiksmes reizinātājs kļūs par reizinātāju pirms saknes zīmes.

   Atbrīvojieties no saknes saucējā (racionalizējiet saucēju). Matemātikā nav pieņemts atstāt sakni saucējā. Ja daļdaļas saucējam ir kvadrātsakne, atbrīvojieties no tā. Lai to izdarītu, reiziniet gan skaitītāju, gan saucēju ar kvadrātsakni, no kuras vēlaties atbrīvoties.

   Vienkāršojiet iegūto izteiksmi (ja nepieciešams). Dažreiz daļskaitļa skaitītājs un saucējs satur skaitļus, kurus var vienkāršot (samazināt). Vienkāršojiet veselus skaitļus skaitītājā un saucējā tāpat kā jebkuru daļskaitli.

Kvadrātsakņu dalīšana ar faktoriem

Vienkāršojiet faktorus. Reizinātājs ir skaitlis, kas ir pirms saknes zīmes. Lai vienkāršotu faktorus, sadaliet vai atceliet tos (atstājiet radikāļus mierā).

Vienkāršot kvadrātsaknes. Ja skaitītājs dalās ar saucēju, dariet to; pretējā gadījumā vienkāršojiet radikālo izteiksmi tāpat kā jebkuru citu izteiksmi.

Reiziniet vienkāršotos faktorus ar vienkāršotām saknēm. Atcerieties, ka sakni saucējā labāk neatstāt, tāpēc ar šo sakni reiziniet gan skaitītāju, gan daļskaitļa saucēju.

Ja nepieciešams, atbrīvojieties no saknes saucējā (racionalizējiet saucēju). Matemātikā nav pieņemts atstāt sakni saucējā. Tātad reiziniet gan skaitītāju, gan saucēju ar kvadrātsakni, no kuras vēlaties atbrīvoties.

Vai jums ir jāveic sarežģīti aprēķini, bet jums nav pie rokas elektroniskās skaitļošanas ierīces? Izmantojiet tiešsaistes programmu - saknes kalkulatoru. Viņa palīdzēs:

• atrast doto skaitļu kvadrātsaknes vai kubsaknes;
• veikt matemātiskas darbības ar daļskaitļu pakāpēm.

Kas ir kvadrātsakne

Katrai matemātiskajai darbībai ir reakcija: saskaitīšana → atņemšana, reizināšana → dalīšana, eksponēšana → sakne.

Skaitļa kvadrātsakne a būs skaitlis, kura kvadrāts ir vienāds ar a. Tas nozīmē atbildi uz jautājumu, kā aprēķināt skaitļa sakni? Jums ir jāizvēlas skaitlis, kas ar otro pakāpi būs vienāds ar vērtību zem saknes.

Parasti 2 nav rakstīts virs saknes zīmes. Tā kā šī ir mazākā pakāpe, un attiecīgi, ja skaitļa nav, tad eksponents ir 2. Mēs atrisinām: lai aprēķinātu kvadrātsakni no 16, jums jāatrod skaitlis, kuru, palielinot līdz otrajai pakāpei, iegūst 16.

Aprēķinus veicam manuāli

Aprēķini, izmantojot faktorizācijas metodi, tiek veikti divos veidos atkarībā no radikālā skaitļa:

1. Vesels skaitlis, ko var sadalīt kvadrātos un iegūt precīzu atbildi.

Kvadrātskaitļi ir skaitļi, no kuriem var iegūt sakni, neatstājot atlikumu. Un faktori ir skaitļi, kurus reizinot, tiek iegūts sākotnējais skaitlis.

Piemēram:

25, 36, 49 ir ​​kvadrātveida skaitļi, jo:

Izrādās, ka kvadrātveida faktori ir faktori, kas ir kvadrātskaitļi.

Ņemsim 784 un izvilksim no tā sakni.

Mēs iedalām skaitli kvadrātveida faktoros. Skaitlis 784 ir reizināts ar 4, kas nozīmē, ka pirmais kvadrāta koeficients ir 4 x 4 = 16. Sadaliet 784 ar 16, un mēs iegūstam 49 - tas ir arī kvadrāta skaitlis 7 x 7 = 16.
Piemērosim noteikumu Mēs ņemam katra kvadrāta faktora sakni, reizinim rezultātus un iegūstam atbildi.	Atbilde.

2. Nedalāms. To nevar iedalīt kvadrātveida koeficientos.

Šādi piemēri notiek biežāk nekā ar veseliem skaitļiem. Viņu risinājums nebūs precīzs, citiem vārdiem sakot, vesels. Tas būs daļējs un aptuvens. Lai vienkāršotu problēmu, palīdzēs radikālā skaitļa sadalīšana kvadrātā un skaitlī, no kura nevar izvilkt kvadrātsakni.

Mēs sadalām skaitli 252 kvadrātā un regulārā koeficientā.
Mēs novērtējam saknes vērtību. Lai to izdarītu, mēs atlasām divus kvadrātveida skaitļus, kas atrodas digitālā lineāla priekšā un aiz radikālā skaitļa.	Radikālais skaitlis ir 7. Tas nozīmē, ka tuvākais lielākais kvadrāta skaitlis būs 8, bet mazākais — 4. starp 2 un 4.
Vērtības novērtēšana	Visticamāk, √7 ir tuvāk 2. Mēs to atlasām tā, lai, reizinot šo skaitli ar sevi, rezultāts būtu 7. 2,7 x 2,7 = 7,2. Nav piemērots, jo 7.2>7, ņem mazāko 2.6 x 2.6 = 6.76. Atstājam, jo ​​6.76~7.
Aprēķiniet sakni

Kā aprēķināt kompleksa skaitļa sakni? Izmantojot arī saknes vērtību novērtēšanas metodi.

Sadalot kolonnā, visprecīzākā atbilde tiek iegūta, izvelkot sakni.

Paņemiet papīra lapu un uzzīmējiet to tā, lai vertikālā līnija būtu vidū, bet horizontālā līnija būtu tās labajā pusē un zem sākuma.
Sadaliet radikālo skaitli skaitļu pāros. Decimāldaļas tiek sadalītas šādi: - vesela daļa no labās uz kreiso pusi; — skaitlis aiz komata no kreisās puses uz labo.	Piemērs: 3459842.825694 → 3 45 98 42, 82 56 94 795,28 → 7 95, 28 Ir atļauts, ka sākumā paliek nesapārots numurs.
Pirmajam skaitlim (vai pārim) mēs izvēlamies lielāko skaitli n. Tā kvadrātam jābūt mazākam vai vienādam ar pirmā skaitļa (skaitļu pāra) vērtību. Ņem no šī skaitļa sakni √n. Augšējā labajā stūrī ierakstiet rezultātu un apakšējā labajā stūrī šī skaitļa kvadrātu. Mūsu pirmais ir 7. Tuvākais kvadrāta skaitlis ir 4. Tas ir mazāks par 7, un 4 =
No pirmā skaitļa (pāra) atņem skaitļa n atrasto kvadrātu. Ierakstiet rezultātu zem 7. Un dubultojiet augšējo skaitli labajā pusē un ierakstiet izteiksmi 4_x_=_ labajā pusē. Piezīme: cipariem ir jābūt vienādiem.
Mēs izvēlamies izteiksmei skaitli ar domuzīmēm. Lai to izdarītu, atrodiet tādu skaitli, lai rezultāts nebūtu lielāks vai vienāds ar pašreizējo skaitli kreisajā pusē. Mūsu gadījumā tas ir 8.
Pierakstiet numuru, ko atrodat augšējā labajā stūrī. Šis ir otrais skaitlis no vēlamās saknes. Paņemiet nākamo skaitļu pāri un pierakstiet tos blakus iegūtajai atšķirībai kreisajā pusē.
Atņemiet produktu labajā pusē no skaitļa kreisajā pusē. Divkāršojiet skaitli, kas atrodas augšējā labajā stūrī, un uzrakstiet izteiksmi ar domuzīmēm.
Iegūtajai starpībai pievienojam vēl pāris skaitļus. Ja tie ir daļējās daļas skaitļi, tas ir, atrodas aiz komata, tad augšējā labajā stūrī pie vajadzīgās kvadrātsaknes pēdējā cipara ievietojam komatu. Labajā pusē esošajā izteiksmē aizpildām domuzīmes, atlasot skaitli tā, lai iegūtais reizinājums būtu mazāks vai vienāds ar kreisās puses izteiksmes starpību.
Ja nepieciešams vairāk zīmju aiz komata, pievienojiet blakus pašreizējam skaitlim kreisajā pusē un atkārtojiet darbības: atņemiet no kreisās puses, dubultojiet skaitli augšējā labajā stūrī, uzrakstiet izteiksmi ar domuzīmēm, atlasiet tai faktorus utt. .

Kā jūs domājat, cik daudz laika veltīsit šādiem aprēķiniem? Grūti, ilgi, mulsinoši. Tad kāpēc gan nepadarīt to sev vieglāku? Izmantojiet mūsu programmu, kas palīdzēs veikt ātrus un precīzus aprēķinus.

Darbību algoritms

1. Ievadiet vajadzīgo zīmju skaitu aiz komata.

2. Norādiet saknes pakāpi (ja tā ir lielāka par 2).

3. Ievadiet numuru, no kura plānojat iegūt sakni.

4. Noklikšķiniet uz pogas "Atrisināt".

Sarežģītāko matemātisko darbību aprēķināšana ar tiešsaistes kalkulatoru kļūs vienkārša!

\(\sqrt(a)=b\), ja \(b^2=a\), kur \(a≥0,b≥0\)

Piemēri:

\(\sqrt(49)=7\), kopš \(7^2=49\)
\(\sqrt(0.04)=0.2\), jo \(0.2^2=0.04\)

Kā iegūt skaitļa kvadrātsakni?

Lai iegūtu skaitļa kvadrātsakni, jums jāuzdod sev jautājums: kāds skaitlis kvadrātā dos izteiksmi zem saknes?

Piemēram. Izvilkt sakni: a)\(\sqrt(2500)\); b) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); c) \(\sqrt(0,001)\); d) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

a) Kāds skaitlis kvadrātā dos \(2500\)?

\(\sqrt(2500)=50\)

b) Kāds skaitlis kvadrātā dos \(\frac(4)(9)\) ?

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

c) Kāds skaitlis kvadrātā dos \(0,0001\)?

\(\sqrt(0,0001)=0,01\)

d) Kāds skaitlis kvadrātā dos \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)? Lai atbildētu uz jautājumu, tas ir jāpārvērš uz nepareizo.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

komentēt: lai gan \(-50\), \(-\frac(2)(3)\), \(-0.01\),\(- \frac(7)(6)\), atbildiet arī uz jautājumu jautājumiem, bet tie netiek ņemti vērā, jo kvadrātsakne vienmēr ir pozitīva.

Galvenā saknes īpašība

Kā zināms, matemātikā jebkurai darbībai ir apgriezta nozīme. Saskaitīšanai ir atņemšana, reizināšanai dalīšana. Kvadrātvērtības apgrieztā vērtība ir kvadrātsakne. Tāpēc šīs darbības kompensē viena otru:

\((\sqrt(a))^2=a\)

Šī ir galvenā saknes īpašība, kas tiek izmantota visbiežāk (tostarp OGE)

Piemērs . (uzdevums no OGE). Atrodiet izteiksmes vērtību \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\)

Risinājums :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

Piemērs . (uzdevums no OGE). Atrodiet izteiksmes vērtību \((\sqrt(85)-1)^2\)

Risinājums:

Protams, strādājot ar kvadrātsaknēm, ir jāizmanto citi.

Piemērs . (uzdevums no OGE). Atrodiet izteiksmes vērtību \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\)
Risinājums:

Atbilde: \(220\)

4 noteikumi, kurus cilvēki vienmēr aizmirst

Sakne ne vienmēr tiek iegūta

Piemērs: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\) utt. - skaitļa saknes iegūšana ne vienmēr ir iespējama, un tas ir normāli!

Skaitļa sakne, arī skaitļa

Nav nepieciešams apstrādāt \(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\), nekādā īpašā veidā. Tie ir skaitļi, bet ne veseli skaitļi, jā, bet ne viss mūsu pasaulē tiek mērīts veselos skaitļos.

Sakne tiek ņemta tikai no nenegatīviem skaitļiem

Tāpēc mācību grāmatās jūs neredzēsit šādus ierakstus \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\) utt.