Puankarē minējums: formulējums un pierādījums. Telpas formas Teorēma, ko Perelmans pierādīja ar vienkāršiem vārdiem

N. Četverikovas foto Par pēdējo lielo tīrās matemātikas sasniegumu dēvē Sanktpēterburgas iedzīvotāja Grigorija Perelmana 2002.–2003. gadā 1904. gadā izteikto Puankarē minējumu, kurā teikts: “katrs savienots, vienkārši savienots, kompakts trīsdimensiju kolektors. bez robežas ir homeomorfs sfērai S 3.

Šajā frāzē ir vairāki termini, kurus mēģināšu izskaidrot, lai to vispārējā nozīme būtu skaidra arī nememātiķiem (pieņemu, ka lasītājs ir beidzis vidusskolu un vēl atceras kādu no savas skolas matemātikas).

Sāksim ar homeomorfisma jēdzienu, kas ir topoloģijas pamatā. Kopumā topoloģiju bieži definē kā “gumijas ģeometriju”, t.i., kā zinātni par ģeometrisku attēlu īpašībām, kas nemainās vienmērīgu deformāciju laikā bez pārtraukumiem un līmēšanas, vai precīzāk, ja ir iespējams izveidot viena pret. - viena un savstarpēji nepārtraukta sarakste starp diviem objektiem.

Galvenā ideja ir visvieglāk izskaidrojama, izmantojot klasisko krūzes un virtuļa piemēru. Pirmo var pārveidot par otro ar nepārtrauktu deformāciju: šie skaitļi skaidri parāda, ka krūze ir homeomorfa virtulim, un šis fakts attiecas gan uz to virsmām (divdimensiju kolektori, ko sauc par toru), gan uz piepildītiem ķermeņiem (trīs). -izmēru kolektori ar malu).

Ļaujiet mums sniegt interpretāciju pārējiem terminiem, kas parādās hipotēzes formulējumā.

1. Trīsdimensiju kolektors bez malas.Šis ir ģeometrisks objekts, kurā katram punktam ir apkārtne trīsdimensiju bumbiņas formā. 3-kolektoru piemēri ietver, pirmkārt, visu trīsdimensiju telpu, ko apzīmē ar R3, kā arī visas R3 atvērtās punktu kopas, piemēram, cieta tora iekšpusi. Ja ņemam vērā slēgtu pilnu toru, t.i., pievienojam tā robežpunktus (tora virsmu), tad iegūstam kolektoru ar malu - malu punktiem nav apkaimes lodītes formā, bet tikai formā. no pusbumbas.

2. Savienots. Savienojamības jēdziens šeit ir visvienkāršākais. Kolektors ir savienots, ja tas sastāv no viena gabala vai, kaut kas tāds pats, jebkurus divus tā punktus var savienot ar nepārtrauktu līniju, kas nepārsniedz tā robežas.

3. Vienkārši savienots. Vienkārši savienojuma jēdziens ir sarežģītāks. Tas nozīmē, ka jebkuru nepārtrauktu slēgtu līkni, kas pilnībā atrodas noteiktā kolektorā, var vienmērīgi sarauties līdz punktam, neatstājot šo kolektoru. Piemēram, parastā divdimensiju sfēra R 3 ir vienkārši savienota (gumijas joslu, kas jebkādā veidā novietota uz ābola virsmas, var vienmērīgi novilkt līdz vienam punktam, vienmērīgi deformējoties, nenoraujot gumiju no ābola) . No otras puses, aplis un torus nav vienkārši saistīti.

4. Kompakts.Šķirne ir kompakta, ja kādam no tās homeomorfajiem attēliem ir ierobežoti izmēri. Piemēram, līnijas atvērtais intervāls (visi segmenta punkti, izņemot tā galus) nav kompakts, jo to var nepārtraukti pagarināt līdz bezgalīgai līnijai. Bet slēgts segments (ar galiem) ir kompakts kolektors ar robežu: jebkurai nepārtrauktai deformācijai gali iet uz dažiem noteiktiem punktiem, un visam segmentam jāiet ierobežotā līknē, kas savieno šos punktus.

Izmērs kolektora ir tā punkta brīvības pakāpju skaits, kas uz tā “dzīvo”. Katram punktam ir apkārtne attiecīgās dimensijas diska formā, t.i., līnijas intervāls viendimensijas gadījumā, aplis uz plaknes divās dimensijās, bumba trīs dimensijās utt. topoloģijas skatījumā ir tikai divi viendimensionāli savienoti kolektori bez malas: līnija un aplis. No tiem tikai aplis ir kompakts.

Piemērs telpai, kas nav kolektors, ir, piemēram, krustojošu līniju pāris - galu galā divu līniju krustpunktā jebkurai apkārtnei ir krusta forma, tai nav apkārtnes, kas būtu pats par sevi ir vienkārši intervāls (un visiem pārējiem punktiem ir šādas apkārtnes). Šādos gadījumos matemātiķi saka, ka mums ir darīšana ar īpašu šķirni, kurai ir viens īpašs punkts.

Divdimensiju kompaktie kolektori ir labi zināmi. Ja ņemam vērā tikai orientējams 1 kolektori bez robežām, tad no topoloģiskā viedokļa tie veido vienkāršu, kaut arī bezgalīgu sarakstu: un tā tālāk. Katrs šāds kolektors tiek iegūts no sfēras, pielīmējot vairākus rokturus, kuru skaitu sauc par virsmas ģints.

1 Vietas trūkuma dēļ nerunāšu par neorientējamiem kolektoriem, kuru piemērs ir slavenā Kleina pudele - virsma, kuru nevar iestrādāt telpā bez paškrustojumiem.

Attēlā parādītas 0, 1, 2 un 3 ģints virsmas. Ar ko sfēra izceļas no visām šī saraksta virsmām? Izrādās, ka tas ir vienkārši savienots: uz sfēras jebkuru slēgtu līkni var savilkt līdz punktam, bet uz jebkuras citas virsmas vienmēr var norādīt līkni, kuru nevar savilkt līdz punktam gar virsmu.

Interesanti, ka trīsdimensiju kompaktos kolektorus bez robežām var klasificēt savā ziņā, tas ir, sakārtot noteiktā sarakstā, lai gan ne tik vienkārši kā divdimensiju gadījumā, bet ar diezgan sarežģītu struktūru. Tomēr 3D sfēra S 3 šajā sarakstā izceļas tāpat kā 2D sfēra iepriekš minētajā sarakstā. Fakts, ka jebkura līkne uz S 3 saraujas līdz punktam, ir pierādīts tikpat vienkārši kā divdimensiju gadījumā. Bet pretējais apgalvojums, proti, ka šī īpašība ir unikāla tieši šai sfērai, t.i., ka uz jebkura cita trīsdimensiju kolektora ir nesaraujamas līknes, ir ļoti sarežģīts un tieši veido Puankarē minējuma saturu, par kuru mēs runājam. .

Ir svarīgi saprast, ka daudzveidība var dzīvot pati par sevi, to var uzskatīt par neatkarīgu objektu, kas nav nekur ligzdots. (Iedomājieties, ka dzīvojat kā divdimensiju radības uz parastas sfēras virsmas, nezinot par trešās dimensijas esamību.) Par laimi, visas iepriekš minētajā sarakstā norādītās divdimensiju virsmas var būt ligzdotas parastajā R3 telpā, padarot tās vieglākas. vizualizēt. Trīsdimensiju sfērai S 3 (un vispār jebkuram kompaktam trīsdimensiju kolektoram bez robežām) tas vairs nav spēkā, tāpēc ir jāpieliek pūles, lai izprastu tās struktūru.

Acīmredzot vienkāršākais veids, kā izskaidrot trīsdimensiju sfēras S 3 topoloģisko struktūru, ir viena punkta blīvēšana. Proti, trīsdimensiju sfēra S 3 ir parastās trīsdimensiju (neierobežotas) telpas R 3 vienpunkta blīvējums.

Vispirms izskaidrosim šo konstrukciju, izmantojot vienkāršus piemērus. Ņemsim parastu bezgalīgu taisnu līniju (viendimensionālu telpas analogu) un pievienosim tai vienu “bezgalīgi tālu” punktu, pieņemot, ka, virzoties pa taisnu līniju pa labi vai pa kreisi, mēs galu galā nonākam līdz šim punktam. No topoloģiskā viedokļa nav atšķirības starp bezgalīgu līniju un ierobežotu atvērtas līnijas segmentu (bez gala punktiem). Šādu segmentu var nepārtraukti saliekt loka formā, tuvināt galus un pielīmēt trūkstošo punktu krustojumā. Acīmredzot mēs iegūsim apli - viendimensionālu sfēras analogu.

Tādā pašā veidā, ja ņemu bezgalīgu plakni un pieskaitu vienu punktu bezgalībā, uz kuru tiecas visas sākotnējās plaknes taisnes, kas iet jebkurā virzienā, tad iegūstam divdimensiju (parasto) sfēru S 2. Šo procedūru var novērot, izmantojot stereogrāfisku projekciju, kas katram punktam P piešķir sfēru, izņemot ziemeļpolu N, noteiktu punktu plaknē P":

Tādējādi sfēra bez viena punkta topoloģiski ir tāda pati kā plakne, un, pievienojot punktu, plakne kļūst par sfēru.

Principā tieši tāda pati konstrukcija ir attiecināma uz trīsdimensiju sfēru un trīsdimensiju telpu, tikai tās īstenošanai ir jāieiet ceturtajā dimensijā, un to nav tik viegli attēlot zīmējumā. Tāpēc aprobežojos ar telpas R 3 vienpunkta blīvēšanas verbālu aprakstu.

Iedomājieties, ka mūsu fiziskajai telpai (ko mēs, sekojot Ņūtonam, uzskatām par neierobežotu Eiklīda telpu ar trim koordinātām x, y, z) viens punkts “bezgalībā” tiek pievienots tā, ka, pārvietojoties pa taisnu jebkurā virzienā, kurā tur nokļūstat (t.i., katra telpiskā līnija noslēdzas aplī). Tad mēs iegūstam kompaktu trīsdimensiju kolektoru, kas pēc definīcijas ir sfēra S 3 .

Ir viegli saprast, ka sfēra S 3 ir vienkārši savienota. Faktiski jebkuru slēgtu līkni uz šīs sfēras var nedaudz nobīdīt, lai tā nešķērsotu pievienoto punktu. Tad iegūstam līkni parastajā telpā R 3, kas viegli saraujas līdz punktam caur homotēzijām, t.i., nepārtrauktu saspiešanu visos trīs virzienos.

Lai saprastu, kā ir strukturēta šķirne S 3, ir ļoti pamācoši apsvērt tās sadalīšanu divos cietos tori. Ja izņemsim cieto toru no telpas R 3, tad paliks kaut kas ne pārāk skaidrs. Un, ja telpa tiek sablīvēta sfērā, tad arī šis papildinājums pārvēršas par cietu toru. Tas ir, sfēra S 3 ir sadalīta divos cietos tori, kuriem ir kopīga robeža - torus.

Lūk, kā jūs to varat saprast. Iestrādāsim toru R 3 kā parasti, apaļa virtuļa formā un novelkam vertikālu līniju - šī virtuļa rotācijas asi. Caur asi mēs zīmējam patvaļīgu plakni; tā krustos mūsu cieto toru pa diviem apļiem, kas attēlā parādīti zaļā krāsā, un plaknes papildu daļa ir sadalīta nepārtrauktā sarkano apļu saimē. Tajos ietilpst centrālā ass, kas tiek izcelta drosmīgāk, jo sfērā S 3 taisne noslēdzas aplī. Trīsdimensiju attēlu iegūst no šī divdimensiju attēla, griežot ap asi. Pilns pagrieztu apļu komplekts aizpildīs trīsdimensiju ķermeni, kas ir homeomorfs līdz cietam toram, tikai izskatās neparasts.

Faktiski centrālā ass tajā būs aksiāls aplis, bet pārējais spēlēs paralēles - apļus, kas veido parastu cieto toru.

Lai būtu ar ko salīdzināt 3-sfēru, es minēšu vēl vienu kompakta 3-kolektora piemēru, proti, trīsdimensiju toru. Trīsdimensiju toru var uzbūvēt šādi. Par izejmateriālu ņemsim parastu trīsdimensiju kubu:

Tam ir trīs malu pāri: pa kreisi un pa labi, augšā un apakšā, priekšā un aizmugurē. Katrā paralēlo virsmu pārī mēs pa pāriem identificējam punktus, kas iegūti viens no otra, pārnesot gar kuba malu. Tas ir, mēs pieņemsim (tīri abstrakti, neizmantojot fiziskas deformācijas), ka, piemēram, A un A" ir viens un tas pats punkts, un B un B" arī ir viens punkts, bet atšķiras no punkta A. Visi iekšējie punkti no kuba Mēs to izskatīsim kā parasti. Pats kubs ir kolektors ar maliņu, bet pēc līmēšanas veikšanas maliņa aizveras uz sevi un pazūd. Faktiski punktu A un A" apkaimes kubā (tās atrodas uz kreisās un labās ēnotās puses) ir bumbiņu pusītes, kuras, salīmējot kopā, saplūst veselā bumbiņā, kas kalpo kā apkārtne. atbilstošo trīsdimensiju tora punktu.

Lai sajustu 3-toru uzbūvi, kas balstīta uz ikdienas priekšstatiem par fizisko telpu, jāizvēlas trīs savstarpēji perpendikulāri virzieni: uz priekšu, pa kreisi un uz augšu – un garīgi jāapsver, kā zinātniskās fantastikas stāstos, ka, pārvietojoties kādā no šiem virzieniem. , diezgan ilgs, bet ierobežots laiks , mēs atgriezīsimies sākuma punktā, bet no pretējā virziena.. Tā arī ir “telpas sablīvēšanās”, taču ne tā vienpunkta, ko agrāk izmantoja sfēras konstruēšanai, bet gan sarežģītāka.

Uz trīsdimensiju tora ir nesaraujami ceļi; piemēram, attēlā tas ir segments AA" (uz tora tas apzīmē slēgtu ceļu). To nevar sarauties, jo jebkurai nepārtrauktai deformācijai punktiem A un A" jāpārvietojas gar to virsmām, paliekot stingri pretī viens otram ( pretējā gadījumā līkne atvērsies).

Tātad, mēs redzam, ka ir vienkārši savienoti un nevienkārši savienoti kompakti 3 kolektori. Perelmans pierādīja, ka vienkārši savienots kolektors ir tieši viens.

Pierādījuma sākotnējā ideja ir izmantot tā saukto “Riči plūsmu”: mēs ņemam vienkārši savienotu kompaktu 3 kolektoru, piešķiram tam patvaļīgu ģeometriju (t.i., ieviešam kādu metriku ar attālumiem un leņķiem) un tad apsveram. tās evolūcija gar Ricci plūsmu. Ričards Hamiltons, kurš ierosināja šo ideju 1981. gadā, cerēja, ka šī evolūcija pārvērtīs mūsu daudzveidību par sfēru. Izrādījās, ka tā nav taisnība - trīsdimensiju gadījumā Ricci plūsma spēj sabojāt kolektoru, tas ir, padarīt to par nekolektoru (kaut kas ar vienskaitļa punktiem, kā iepriekš minētajā krustojošo līniju piemērā) . Perelmanam, pārvarot neticamas tehniskas grūtības, izmantojot smago daļējo diferenciālvienādojumu aparātu, izdevās ieviest korekcijas Riči plūsmā netālu no singulāriem punktiem tā, ka evolūcijas laikā kolektora topoloģija nemainās, nerodas atsevišķi punkti, un beigās pārvēršas par apaļu sfēru . Bet mums beidzot jāpaskaidro, kas ir šī Ricci plūsma. Hamiltona un Perelmana izmantotās plūsmas attiecas uz abstrakta kolektora iekšējās metrikas izmaiņām, un to ir diezgan grūti izskaidrot, tāpēc es aprobežošos ar “ārējās” Ricci plūsmas aprakstu uz plaknē iegultiem viendimensijas kolektoriem.

Iedomāsimies gludu slēgtu līkni Eiklīda plaknē, izvēlēsimies uz tās virzienu un aplūkosim pieskares vektoru ar vienības garumu katrā punktā. Tad, apejot līkni izvēlētajā virzienā, šis vektors griezīsies ar kādu leņķisko ātrumu, ko sauc par izliekumu. Vietās, kur līkne ir stāvāka, izliekums (absolūtajā vērtībā) būs lielāks, bet tur, kur tas ir gludāks, izliekums būs mazāks.

Mēs uzskatīsim izliekumu par pozitīvu, ja ātruma vektors pagriežas uz plaknes iekšējo daļu, ko mūsu līkne sadala divās daļās, un negatīvu, ja tas pagriežas uz āru. Šī vienošanās nav atkarīga no virziena, kurā tiek šķērsota līkne. Līkuma punktos, kur rotācija maina virzienu, izliekums būs 0. Piemēram, aplim ar rādiusu 1 ir nemainīgs pozitīvs izliekums 1 (ja mēra radiānos).

Tagad aizmirsīsim par pieskares vektoriem un, gluži pretēji, katram līknes punktam pievienosim tam perpendikulāru vektoru, kura garums ir vienāds ar izliekumu noteiktā punktā un ir vērsts uz iekšu, ja izliekums ir pozitīvs, un uz āru, ja tas ir negatīvs. , un pēc tam lieciet katram punktam pārvietoties atbilstošā vektora virzienā ar ātrumu, kas ir proporcionāls tā garumam. Šeit ir piemērs:

Izrādās, ka jebkura slēgta līkne plaknē šādas evolūcijas laikā uzvedas līdzīgi, t.i., galu galā pārvēršas par apli. Tas ir pierādījums Puankarē minējuma viendimensionālajam analogam, izmantojot Riči plūsmu (tomēr pats apgalvojums šajā gadījumā jau ir acīmredzams, tikai pierādīšanas metode ilustrē to, kas notiek 3. dimensijā).

Nobeigumā atzīmēsim, ka Perelmana argumentācija pierāda ne tikai Puankarē minējumus, bet arī daudz vispārīgākos Tērstona ģeometrizācijas minējumus, kas zināmā mērā apraksta visu kopumā kompakto trīsdimensiju kolektoru uzbūvi. Bet šī tēma ir ārpus šī elementārā raksta darbības jomas.

Sergejs Dužins,
Fizikas un matemātikas doktors zinātnes,
Vecākais pētnieks
Sanktpēterburgas filiāle
Krievijas Zinātņu akadēmijas Matemātikas institūts

Izcils matemātiķis un Parīzes profesors Anrī Puankarē strādāja dažādās šīs zinātnes jomās. Neatkarīgi un neatkarīgi no Einšteina darba 1905. gadā viņš izvirzīja Speciālās relativitātes teorijas galvenos principus. Un viņš formulēja savu slaveno hipotēzi jau 1904. gadā, tāpēc tās atrisināšana prasīja aptuveni gadsimtu.

Puankarē bija viens no topoloģijas – zinātnes par ģeometrisko figūru īpašībām, kuras nemainās bez pārtraukumiem notiekošo deformāciju rezultātā, dibinātājiem. Piemēram, balonu var viegli deformēt dažādās formās, tāpat kā to dara bērniem parkā. Bet jums būs jāsagriež bumbiņa, lai to savērptu virtulī (vai, ģeometriski runājot, torusā) - cita ceļa nav. Un otrādi: paņemiet gumijas virtuli un mēģiniet to “pārvērst” sfērā. Tomēr tas joprojām nedarbosies. Saskaņā ar to topoloģiskajām īpašībām sfēras un tora virsmas ir nesavienojamas vai nehomeomorfas. Bet jebkuras virsmas bez “caurumiem” (slēgtas virsmas), gluži pretēji, ir homeomorfas un spēj deformēties un pārveidoties par sfēru.

Ja 19. gadsimtā viss tika izlemts par sfēras un tora divdimensiju virsmām, daudzdimensionālākiem gadījumiem tas prasīja daudz ilgāku laiku. Tā patiesībā ir Puankarē minējuma būtība, kas paplašina modeli daudzdimensionāliem gadījumiem. Nedaudz vienkāršojot, Puankarē minējums saka: "Katrs vienkārši savienots slēgts n-dimensiju kolektors ir homeomorfs n-dimensiju sfērai." Smieklīgi, ka visgrūtākais izrādījās variants ar trīsdimensiju virsmām. 1960. gadā hipotēze tika pierādīta dimensijām 5 un augstāk, 1981. gadā - n=4. Klupšanas akmens bija tieši trīsdimensionalitāte.

Izstrādājot Viljama Tērstana un Ričarda Hamiltona idejas, ko viņi ierosināja 80. gados, Grigorijs Perelmans trīsdimensiju virsmām piemēroja īpašu "gludas evolūcijas" vienādojumu. Un viņš spēja parādīt, ka sākotnējā trīsdimensiju virsma (ja tajā nav pārrāvumu) noteikti pārtaps par trīsdimensiju sfēru (šī ir četrdimensiju bumbiņas virsma, un tā pastāv četrdimensiju formā). telpa). Pēc vairāku ekspertu domām, šī bija “jaunās paaudzes” ideja, kuras risinājums paver jaunus apvāršņus matemātikas zinātnei.

Interesanti, ka pats Perelmans nez kāpēc nepūlējās savu lēmumu novest līdz galam. Aprakstot risinājumu “vispārīgi” pirmsdrukā Entropijas formula Riči plūsmai un tās ģeometriskajiem pielietojumiem 2002. gada novembrī, 2003. gada martā viņš papildināja pierādījumu un prezentēja to pirmsdrukā Ricci plūsmā ar operāciju uz trīs kolektoriem, kā arī ziņoja par šo metodi lekciju sērijā, ko viņš lasīja 2003. gadā pēc vairāku universitāšu uzaicinājuma. Neviens no recenzentiem nevarēja atrast kļūdas viņa piedāvātajā versijā, taču Perelmans nepublicēja publikāciju recenzētā zinātniskā izdevumā (kas jo īpaši bija nepieciešams nosacījums balvas saņemšanai). Bet 2006. gadā, pamatojoties uz viņa metodi, tika izdots vesels pierādījumu kopums, kurā amerikāņu un ķīniešu matemātiķi detalizēti un pilnībā pārbaudīja problēmu, papildināja Perelmana izlaistos punktus un sagatavoja Puankarē minējuma “galīgo pierādījumu”.

1904. gadā Anrī Puankarē ierosināja, ka jebkuru trīsdimensiju objektu, kam ir noteiktas trīsdimensiju sfēras īpašības, var pārvērst par 3 sfēru. Lai pierādītu šo hipotēzi, bija vajadzīgi 99 gadi. (Uzmanību! Trīsdimensiju sfēra nav tāda, kā jūs domājat.) Krievu matemātiķis pierādīja pirms gadsimta izteikto Puankarē minējumu un pabeidza trīsdimensiju telpu formu kataloga izveidi. Varbūt viņš saņems 1 miljonu dolāru prēmiju.

Paskaties apkārt. Apkārtējie objekti, tāpat kā jūs pats, ir daļiņu kopums, kas pārvietojas trīsdimensiju telpā (3-kolektors), kas stiepjas visos virzienos daudzus miljardus gaismas gadu.

Kolektori ir matemātiskas konstrukcijas. Kopš Galileja un Keplera laikiem zinātnieki ir veiksmīgi aprakstījuši realitāti vienā vai otrā matemātikas nozarē. Fiziķi uzskata, ka viss pasaulē notiek trīsdimensiju telpā un jebkuras daļiņas atrašanās vietu var norādīt ar trīs skaitļiem, piemēram, platumu, garumu un augstumu virs jūras līmeņa (pagaidām atstāsim malā stīgu teorijā izteikto pieņēmumu, ka papildus trim mūsu novērotajām dimensijām ir vairākas papildu ).

Saskaņā ar klasisko un tradicionālo kvantu fiziku telpa ir fiksēta un nemainīga. Tajā pašā laikā vispārējā relativitātes teorija to uzskata par aktīvu notikumu dalībnieku: attālums starp diviem punktiem ir atkarīgs no gravitācijas viļņiem un no tā, cik daudz vielas un enerģijas atrodas tuvumā. Bet gan Ņūtona, gan Einšteina fizikā telpa - bezgalīga vai galīga - jebkurā gadījumā ir 3-daļējs. Tāpēc, lai pilnībā izprastu pamatus, uz kuriem balstās gandrīz visa mūsdienu zinātne, ir jāsaprot 3-kolektoru īpašības (4-kolektori ir ne mazāk interesanti, jo telpa un laiks kopā veido vienu no tiem).

Matemātikas nozari, kurā tiek pētīti kolektori, sauc par topoloģiju. Topologi vispirms uzdeva fundamentālus jautājumus: kāds ir vienkāršākais (t.i., vismazāk sarežģītais) 3 kolektora veids? Vai tai ir tikpat vienkārši brāļi vai arī tas ir unikāls? Kādi tur ir 3 kolektori?

Atbilde uz pirmo jautājumu ir zināma jau sen: visvienkāršākais kompaktais 3-kolektors ir telpa, ko sauc par 3-sfēru (Nekompaktie kolektori ir bezgalīgi vai tiem ir malas. Tālāk ir apskatīti tikai kompaktie kolektori). Divi citi jautājumi palika atklāti gadsimtu. Tikai 2002. gadā uz tiem atbildēja krievu matemātiķis Grigorijs Perelmans, kurš, šķiet, spēja pierādīt Puankarē minējumu.

Tieši pirms simts gadiem franču matemātiķis Anrī Puankarē ierosināja, ka 3 sfēra ir unikāla un nevienam citam kompaktam 3 kolektoram nav tādas īpašības, kas to padara tik vienkāršu. Sarežģītākiem 3 kolektoriem ir robežas, kas stāv kā ķieģeļu siena, vai vairāki savienojumi starp noteiktiem apgabaliem, piemēram, meža taka, kas sazarojas un pēc tam atkal savienojas. Jebkurš trīsdimensiju objekts ar 3 sfēras īpašībām var tikt pārveidots par to pašu, tāpēc topologiem tas šķiet vienkārši tā kopija. Perelmana pierādījums arī ļauj mums atbildēt uz trešo jautājumu un klasificēt visus esošos 3-kolektorus.

Lai iztēlotos 3 sfēru, jums būs nepieciešama diezgan liela iztēle (skatiet Sfēru DAUDZDIMENSIONĀLĀ MŪZIKA). Par laimi, tam ir daudz kopīga ar 2-sfēru, kuras tipisks piemērs ir apaļa balona gumija: tā ir divdimensiju, jo jebkuru punktu uz tā nosaka tikai divas koordinātas - platums un garums. Ja papētīsit diezgan nelielu tā laukumu zem spēcīga palielināmā stikla, tas šķitīs plakanas loksnes gabals. Sīkam kukainim, kas rāpo pa balonu, tā šķitīs līdzena virsma. Bet, ja booger pārvietojas taisnā līnijā pietiekami ilgi, tas galu galā atgriezīsies savā izejas punktā. Tādā pašā veidā mēs uztvertu 3 sfēras mūsu Visuma lielumā kā “parastu” trīsdimensiju telpu. Lidojuši pietiekami tālu jebkurā virzienā, mēs galu galā būtu to "apbraukuši apkārt" un nonākuši atpakaļ mūsu sākuma punktā.

Kā jūs, iespējams, uzminējāt, n-dimensiju sfēru sauc par n-sfēru. Piemēram, 1-sfēra ir pazīstama visiem: tas ir tikai aplis.

Grigorijs Perelmans seminārā Prinstonas Universitātē 2003. gada aprīlī iepazīstina ar Puankarē minējumu un Tērstona ģeometrizācijas programmas pabeigšanu.

Hipotēžu pārbaude

Pagāja pusgadsimts, pirms Puankarē pieņēmuma jautājums parādījās. 60. gados XX gadsimts Matemātiķi viņai ir pierādījuši līdzīgus apgalvojumus par piecu vai vairāk dimensiju sfērām. Katrā gadījumā n-sfēra patiešām ir vienīgais un vienkāršākais n-kolektors. Savādi, bet izrādījās, ka ir vieglāk iegūt rezultātus daudzdimensiju sfērām nekā 3 un 4 sfērām. Četru dimensiju pierādījums parādījās 1982. gadā. Un tikai sākotnējie Puankarē minējumi par 3-sfēru palika neapstiprināti.

Izšķirošais solis tika sperts 2002. gada novembrī, kad Grigorijs Perelmans, matemātiķis no Matemātikas institūta Sanktpēterburgas filiāles. Steklovs, nosūtīja rakstu vietnei www.arxiv.org, kur fiziķi un matemātiķi no visas pasaules apspriež savas zinātniskās darbības rezultātus. Topologi uzreiz saprata saistību starp krievu zinātnieka darbu un Puankarē minējumu, lai gan autors to tieši neminēja. 2003. gada martā Perelmans publicēja otru rakstu, un tā gada pavasarī viņš apmeklēja ASV un sniedza vairākus seminārus Masačūsetsas Tehnoloģiju institūtā un Ņujorkas štata universitātē Stony Brook. Vairākas matemātiķu grupas vadošajos institūtos nekavējoties sāka detalizētu iesniegto darbu izpēti un kļūdu meklēšanu.

APSKATS: PUNKĀRESA HIPOTĒZES PIERĀDĪJUMS

Veselu gadsimtu matemātiķi mēģināja pierādīt Anrī Puankarē pieņēmumu par 3-sfēras ārkārtējo vienkāršību un unikalitāti starp visiem trīsdimensiju objektiem.
Puankarē minējuma pamatojums beidzot parādījās jaunā krievu matemātiķa Grigorija Perelmana darbā. Viņš arī pabeidza plašu trīsdimensiju kolektoru klasifikācijas programmu.
Iespējams, ka mūsu Visumam ir 3 sfēru forma. Pastāv arī citas intriģējošas saiknes starp matemātiku un daļiņu fiziku un vispārējo relativitāti.

Stounbrūkā Perelmans nolasīja vairākas lekcijas divu nedēļu laikā, runājot no trīs līdz sešām stundām dienā. Viņš ļoti skaidri izklāstīja materiālu un atbildēja uz visiem radušajiem jautājumiem. Līdz gala rezultāta iegūšanai vēl palicis viens mazs solis, taču nav šaubu, ka tas tiks paveikts. Pirmais raksts iepazīstina lasītāju ar pamatā esošajām idejām un tiek uzskatīts par pilnībā pārbaudītu. Otrais raksts aptver lietišķos jautājumus un tehniskās nianses; tas vēl nerada tādu pašu pilnīgu pārliecību kā tā priekšgājējs.

2000. gadā tika nosaukts Matemātikas institūts. Klejs Kembridžā, Masačūsetsā, ir nodibinājis 1 miljona dolāru balvu par katras septiņas tūkstošgades problēmas pierādīšanu, no kurām viena tiek uzskatīta par Puankarē pieņēmumu. Pirms zinātnieks var pretendēt uz balvu, viņa pierādījumi ir jāpublicē un rūpīgi jāpārskata divus gadus.

Perelmana darbība paplašina un pabeidz 90. gados veikto pētījumu programmu. pagājušajā gadsimtā Ričards S. Hamiltons no Kolumbijas universitātes. 2003. gada beigās amerikāņu matemātiķa darbi tika apbalvoti ar Māla institūta balvu. Perelmanam izdevās izcili pārvarēt vairākus šķēršļus, ar kuriem Hamiltons netika galā.

Patiesībā Perelmana pierādījums, kura pareizību neviens vēl nav spējis apšaubīt, atrisina daudz plašāku jautājumu loku nekā pats Puankarē minējums. Ģeometrizācijas procedūra, ko ierosināja Viljams P. Tērstons no Kornela universitātes, ļauj pilnībā klasificēt 3 kolektorus, pamatojoties uz 3 sfēru, kas ir unikāla savā cildenajā vienkāršībā. Ja Puankarē minējums būtu nepatiess, t.i. Ja būtu daudz tik vienkāršu telpu kā sfēra, tad 3-kolektoru klasifikācija pārvērstos par kaut ko bezgalīgi sarežģītāku. Pateicoties Perelmanam un Tērstonam, mums ir pilns visu matemātiski iespējamo trīsdimensiju telpas formu katalogs, ko mūsu Visums varētu pieņemt (ja ņemam vērā tikai telpu bez laika).

Gumijas bageles

Lai labāk izprastu Puankarē pieņēmumus un Perelmana pierādījumus, jums vajadzētu tuvāk apskatīt topoloģiju. Šajā matemātikas nozarē objekta formai nav nozīmes, it kā tas būtu no mīklas, ko var stiept, saspiest un izliekt visādi. Kāpēc mums vajadzētu domāt par lietām vai telpām, kas izgatavotas no iedomātas mīklas? Fakts ir tāds, ka precīza objekta forma - attālums starp visiem tā punktiem - attiecas uz struktūras līmeni, ko sauc par ģeometriju. Pārbaudot objektu no testa, topologi nosaka tā pamatīpašības, kas nav atkarīgas no ģeometriskās struktūras. Topoloģijas pētīšana ir līdzīga cilvēkiem visbiežāk sastopamo iezīmju meklēšanai, aplūkojot “plastilīna vīrieti”, kuru var pārvērst par jebkuru konkrētu indivīdu.

Populārajā literatūrā nereti ir izskanējis šķelmīgs apgalvojums, ka no topoloģiskā viedokļa kauss ne ar ko neatšķiras no virtuļa. Fakts ir tāds, ka mīklas krūzi var pārvērst par virtuli, vienkārši sasmalcinot materiālu, t.i. neko neapžilbinot un neveidojot caurumus (skat. VIRSMAS TOPOLOĢIJA). Savukārt, lai no bumbiņas izgatavotu virtuli, tajā noteikti ir jāizveido bedre vai jāizrullē cilindrā un jāizveido galiņi, tātad bumbiņa nebūt nav virtulis.

Topologus visvairāk interesē sfēras un virtuļu virsmas. Tāpēc cieto ķermeņu vietā jums vajadzētu iedomāties balonus. To topoloģija joprojām ir atšķirīga, jo sfērisku balonu nevar pārvērst gredzenveida balonā, ko sauc par toru. Pirmkārt, zinātnieki nolēma noskaidrot, cik daudz objektu ar dažādām topoloģijām pastāv un kā tos var raksturot. 2-kolektoriem, kurus esam pieraduši saukt par virsmām, atbilde ir eleganta un vienkārša: visu nosaka “caurumu” vai, kas ir tas pats, rokturu skaits (skat. VIRSMU TOPOLOĢIJA). 19. gadsimta beigas. matemātiķi izdomāja, kā klasificēt virsmas, un noteica, ka vienkāršākā no tām ir sfēra. Protams, topologi sāka domāt par 3-kolektoriem: vai 3-sfēra ir unikāla savā vienkāršībā? Gadsimtu ilgā atbildes meklēšanas vēsture ir pilna ar nepareizām darbībām un kļūdainiem pierādījumiem.

Anrī Puankarē rūpīgi pievērsās šim jautājumam. Viņš bija viens no diviem spēcīgākajiem 20. gadsimta sākuma matemātiķiem. (otrs bija Deivids Gilberts). Viņu sauca par pēdējo universālistu – viņš veiksmīgi darbojās visās gan tīrās, gan lietišķās matemātikas jomās. Turklāt Puankarē sniedza milzīgu ieguldījumu debesu mehānikas attīstībā, elektromagnētisma teorijā, kā arī zinātnes filozofijā, par ko viņš uzrakstīja vairākas populāras grāmatas.

Puankarē kļuva par algebriskās topoloģijas dibinātāju un, izmantojot tās metodes, 1900. gadā formulēja objekta topoloģisko raksturlielumu, ko sauc par homotopiju. Lai noteiktu kolektora homotopiju, tajā garīgi jāiegremdē slēgta cilpa (skat. VIRSMU TOPOLOĢIJA). Tad jums vajadzētu noskaidrot, vai vienmēr ir iespējams savilkt cilpu līdz punktam, pārvietojot to kolektora iekšpusē. Toram atbilde būs noraidoša: ja apliekat cilpu ap tora apkārtmēru, to nevarēsiet pievilkt līdz punktam, jo virtuļa “caurums” traucēs. Homotopija ir dažādu ceļu skaits, kas var novērst cilpas saraušanos.

DAUDZDIMENSIONĀLA SFĒRU MŪZIKA

Nav tik viegli iedomāties 3 sfēru. Matemātiķiem, kuri pierāda teorēmas par augstāku dimensiju telpām, nav jāiedomājas pētījuma objekts: viņi nodarbojas ar abstraktām īpašībām, vadoties pēc intuīcijām, kuru pamatā ir analoģijas ar mazākām dimensijām (šādas analoģijas jāizturas piesardzīgi, nevis burtiski). Mēs arī apsvērsim trīs sfēras, pamatojoties uz objektu ar mazāku izmēru īpašībām.

1. Sāksim, aplūkojot apli un to aptverošo apli. Matemātiķiem aplis ir divdimensiju bumbiņa, bet aplis ir viendimensijas sfēra. Turklāt jebkura izmēra bumba ir piepildīts objekts, kas atgādina arbūzu, un sfēra ir tās virsma, vairāk kā balons. Aplis ir viendimensionāls, jo punkta atrašanās vietu uz tā var norādīt ar vienu skaitli.

2. No diviem apļiem mēs varam uzbūvēt divdimensiju sfēru, vienu no tiem pārvēršot par ziemeļu puslodi, bet otru par dienvidu puslodi. Atliek tikai tos salīmēt, un 2-sfēra ir gatava.

3. Iedomāsimies skudru, kas rāpo no Ziemeļpola pa lielu apli, ko veido galvenais un 180. meridiāns (pa kreisi). Ja mēs kartējam tā ceļu uz diviem sākotnējiem apļiem (labajā pusē), mēs redzam, ka kukainis virzās taisnā līnijā (1) līdz ziemeļu apļa malai (a), pēc tam šķērso robežu un sasniedz atbilstošo punktu dienvidu apli un turpina iet pa taisni (2. un 3.). Tad skudra atkal sasniedz malu (b), šķērso to un atkal atrodas uz ziemeļu loka, steidzoties uz sākumpunktu - Ziemeļpolu (4). Ņemiet vērā, ka, ceļojot pa pasauli pa 2 sfērām, kustības virziens tiek mainīts, pārvietojoties no viena apļa uz otru.

4. Tagad apsveriet mūsu 2-sfēru un tajā esošo tilpumu (telpisku bumbiņu) un dariet ar tām to pašu, ko ar apli un apli: paņemiet divus lodītes kopijas un salīmējiet to robežas. Nav iespējams un nav nepieciešams skaidri parādīt, kā bumbiņas tiek izkropļotas četrās dimensijās un pārvēršas par pusložu analogu. Pietiek zināt, ka attiecīgie punkti uz virsmām, t.i. 2-sfēras ir savienotas viena ar otru tāpat kā apļu gadījumā. Divu bumbiņu savienošanas rezultāts ir 3-sfēra - četrdimensiju bumbiņas virsma. (Četrās dimensijās, kur pastāv 3-sfēra un 4-bumbiņa, objekta virsma ir trīsdimensiju.) Sauksim vienu lodi par ziemeļu puslodi, bet otru par dienvidu puslodi. Pēc analoģijas ar apļiem stabi tagad atrodas bumbiņu centros.

5. Iedomājieties, ka attiecīgās bumbiņas ir lieli tukši kosmosa apgabali. Pieņemsim, ka astronauts ar raķeti izlido no Ziemeļpola. Laika gaitā tas sasniedz ekvatoru (1), kas tagad ir sfēra, kas ieskauj ziemeļu bumbu. Šķērsojot to, raķete iekļūst dienvidu puslodē un virzās taisnā līnijā caur tās centru – Dienvidpolu – uz pretējo ekvatora pusi (2. un 3.). Tur atkal notiek pāreja uz ziemeļu puslodi, un ceļotājs atgriežas Ziemeļpolā, t.i. uz sākuma punktu (4). Šis ir scenārijs ceļošanai pa pasauli uz 4-dimensiju bumbas virsmas! Aplūkotā trīsdimensiju sfēra ir telpa, kas minēta Puankarē minējumā. Varbūt mūsu Visums ir tieši trīs sfēru.
Pamatojumu var paplašināt līdz piecām dimensijām un izveidot četru sfēru, taču to ir ārkārtīgi grūti iedomāties. Ja jūs salīmējat divas n-veida lodītes gar (n-1)-sfērām, kas tās ieskauj, jūs iegūstat n-sfēru, kas ierobežo (n+1)-bumbu.

Uz n-sfēras jebkuru cilpu, pat sarežģīti savītu, vienmēr var atšķetināt un savilkt kopā līdz punktam. (Cilpai ir atļauts iziet cauri sev.) Puankarē pieņēma, ka 3-sfēra ir vienīgais 3-kolektors, uz kura jebkuru cilpu var savilkt līdz punktam. Diemžēl viņš nekad nespēja pierādīt savu minējumu, kas vēlāk kļuva pazīstams kā Puankarē minējums. Pēdējo simts gadu laikā daudzi ir piedāvājuši savu pierādījumu versiju, bet tikai tāpēc, lai pārliecinātos par tā maldīgumu. (Ekspozīcijas atvieglošanai es atstāju novārtā divus īpašus gadījumus: tā sauktos neorientējamos kolektorus un kolektorus ar malām. Piemēram, lodei ar izgrieztu segmentu ir mala, un Mēbiusa cilpai ir ne tikai malas. , bet arī nav orientējams.)

Ģeometrizācija

Perelmana 3 kolektoru analīze ir cieši saistīta ar ģeometrizācijas procedūru. Ģeometrija attiecas uz objektu un kolektoru faktisko formu, kas vairs nav izgatavoti no mīklas, bet gan no keramikas. Piemēram, kauss un virtulis ir ģeometriski atšķirīgi, jo to virsmas ir atšķirīgi izliektas. Mēdz teikt, ka kauss un virtulis ir divi topoloģiskā tora piemēri, kam piešķirtas dažādas ģeometriskas formas.

Lai saprastu, kāpēc Perelmans izmantoja ģeometrizāciju, apsveriet 2-kolektoru klasifikāciju. Katrai topoloģiskajai virsmai ir piešķirta unikāla ģeometrija, kuras izliekums ir vienmērīgi sadalīts visā kolektorā. Piemēram, sfērai tā ir ideāli sfēriska virsma. Vēl viena iespējamā topoloģiskās sfēras ģeometrija ir ola, taču tās izliekums nav vienmērīgi sadalīts visur: asais gals ir izliektāks nekā neasais gals.

2-kolektori veido trīs ģeometriskos tipus (skat. ĢEOMETRIZĀCIJA). Sfērai raksturīgs pozitīvs izliekums. Ģeometrizēts tors ir plakans un tam ir nulles izliekums. Visiem pārējiem 2-kolektoriem ar diviem vai vairākiem "caurumiem" ir negatīvs izliekums. Tie atbilst segliem līdzīgai virsmai, kas izliekas uz augšu priekšā un aizmugurē un uz leju pa kreisi un pa labi. Puankarē šo 2-kolektoru ģeometrisko klasifikāciju (ģeometrizāciju) izstrādāja kopā ar Polu Koibu un Fēliksu Kleinu, kura vārdā ir nosaukta Kleina pudele.

Ir dabiska vēlme piemērot līdzīgu metodi 3-kolektoriem. Vai ir iespējams katram no tiem atrast unikālu konfigurāciju, kurā izliekums būtu vienmērīgi sadalīts visā šķirnē?

Izrādījās, ka 3-kolektori ir daudz sarežģītāki nekā to divdimensiju kolēģi, un vairumam no tiem nevar piešķirt viendabīgu ģeometriju. Tie ir jāsadala daļās, kas atbilst vienai no astoņām kanoniskajām ģeometrijām. Šī procedūra atgādina skaitļa sadalīšanu galvenajos faktoros.

VIRSMAS TOPOLOĢIJA

TOPLOĢIJĀ precīza forma, t.i. ģeometrijai nav nozīmes: objekti tiek apstrādāti tā, it kā tie būtu izgatavoti no mīklas, un tos var stiept, saspiest un savīt. Tomēr neko nevar griezt vai pielīmēt. Tādējādi jebkurš objekts ar vienu caurumu, piemēram, kafijas krūze (pa kreisi), ir līdzvērtīgs virtulim vai toram (pa labi).

JEBKURU DIVDIMENSIJU kolektoru vai virsmu (tikai kompaktiem orientējamiem objektiem) var izgatavot, pievienojot rokturus sfērai (a). Uzlīmēsim vienu un izveidosim 1. veida virsmu, t.i. torus vai virtulis (augšējā labajā pusē), pievienojiet otru - iegūstam 2. veida virsmu (b) utt.

2-sfēras unikalitāte starp virsmām ir tāda, ka jebkuru tajā iegulto slēgto cilpu var savilkt līdz punktam (a). Torusā to var novērst ar vidējo caurumu (b). Jebkurai virsmai, izņemot 2-sfēru, ir rokturi, kas neļauj cilpai pievilkties. Puankarē ierosināja, ka 3 sfēra ir unikāla starp trīsdimensiju kolektoriem: tikai uz tās jebkuru cilpu var savilkt līdz punktam.

Šo klasifikācijas procedūru pirmo reizi ierosināja Tērstons 70. gadu beigās. pagājušajā gadsimtā. Kopā ar saviem kolēģiem viņš pamatoja lielāko daļu no tā, taču viņi nespēja pierādīt dažus galvenos punktus (tostarp Puankarē minējumus). Vai 3-sfēra ir unikāla? Uzticama atbilde uz šo jautājumu pirmo reizi parādījās Perelmana rakstos.

Kā var ģeometrizēt kolektoru un piešķirt tam vienmērīgu izliekumu visur? Jums ir jāņem patvaļīga ģeometrija ar dažādiem izvirzījumiem un padziļinājumiem un pēc tam jāizlīdzina visi nelīdzenumi. 90. gadu sākumā. XX gadsimts Hamiltons sāka analizēt 3 kolektorus, izmantojot Riči plūsmas vienādojumu, kas nosaukts matemātiķa Gregorio Ricci-Curbastro vārdā. Tas ir nedaudz līdzīgs siltuma vadīšanas vienādojumam, kas apraksta siltuma plūsmas, kas plūst nevienmērīgi uzkarsētā ķermenī, līdz tā temperatūra visur kļūst vienāda. Tādā pašā veidā Ricci plūsmas vienādojums nosaka izmaiņas kolektora izliekumā, kas noved pie visu izvirzījumu un padziļinājumu izlīdzināšanas. Piemēram, ja jūs sākat ar olu, tā pakāpeniski kļūs sfēriska.

ĢEOMETRIZĀCIJA

LAI KLASIFICĒTU 2-kolektorus, varat izmantot uniformizāciju vai ģeometrizāciju: piešķiriet tiem noteiktu ģeometriju, stingru formu. Jo īpaši katru kolektoru var pārveidot tā, lai tā izliekums būtu vienmērīgi sadalīts. Sfēra (a) ir unikāla forma ar nemainīgu pozitīvu izliekumu: tā visur ir izliekta kā kalna virsotne. Toru (b) var padarīt plakanu, t.i. visur ar nulles izliekumu. Lai to izdarītu, jums tas ir jāsagriež un jāiztaisno. Iegūtais cilindrs ir jāsagriež gareniski un jāatloka, lai izveidotu taisnstūra plakni. Citiem vārdiem sakot, toru var kartēt uz plaknes. 2. un augstāka tipa (c) virsmām var piešķirt nemainīgu negatīvu izliekumu, un to ģeometrija būs atkarīga no rokturu skaita. Zemāk ir seglu formas virsma ar pastāvīgu negatīvu izliekumu.

KLASIFICĒT 3 ŠĶIRNES ir daudz grūtāk. 3-kolektors ir jāsadala daļās, no kurām katru var pārveidot par vienu no astoņām kanoniskām 3-dimensiju ģeometrijām. Tālāk sniegtajā piemērā (vienkāršības labad parādīts kā 2 kolektoru zilā krāsā) ir 3 ģeometrijas ar nemainīgu pozitīvu (a), nulles (b) un nemainīgu negatīvu (c) izliekumu, kā arī 2 “produkti”. -sfēra un aplis (d) un virsmas ar negatīvu izliekumu un apļi (e).

Tomēr Hamiltons saskārās ar zināmām grūtībām: dažos gadījumos Ricci plūsma noved pie kolektora saspiešanas un bezgalīgi plāna kakla veidošanās. (Tas atšķiras no siltuma plūsmas: saspiešanas vietās temperatūra būtu bezgalīgi augsta.) Viens piemērs ir hanteles formas kolektors. Sfēras aug, velkot materiālu no tilta, kas sašaurinās uz punktu vidū (skatiet CĪŅAS ĪPAŠĪBAS). Citā gadījumā, kad no kolektora izvirzās plāns stienis, Ricci plūsma izraisa tā sauktās cigāra formas singularitātes parādīšanos. Parastā 3-kolektorā jebkura punkta apkārtne ir parastas trīsdimensiju telpas gabals, ko nevar teikt par atsevišķiem saspiešanas punktiem. Krievu matemātiķa darbs palīdzēja pārvarēt šīs grūtības.

1992. gadā pēc doktora disertācijas aizstāvēšanas Perelmans ieradās Amerikas Savienotajās Valstīs un vairākus semestrus pavadīja Ņujorkas štata universitātē Stony Bruokā un pēc tam divus gadus Kalifornijas Universitātē Bērklijā. Viņš ātri izpelnījās uzlecošās zvaigznes reputāciju, gūstot vairākus svarīgus un dziļus rezultātus vienā no ģeometrijas nozarēm. Perelmanam tika piešķirta Eiropas matemātikas biedrības balva (no kuras viņš atteicās) un viņš saņēma prestižu uzaicinājumu uzstāties Starptautiskajā matemātiķu kongresā (kuru viņš pieņēma).

1995. gada pavasarī viņam tika piedāvāti amati vairākās ievērojamās matemātikas iestādēs, taču viņš izvēlējās atgriezties dzimtajā Sanktpēterburgā un būtībā pazuda no redzesloka. Daudzus gadus vienīgā viņa darbības pazīme bija vēstules bijušajiem kolēģiem, norādot uz viņu publicētajos rakstos pieļautajām kļūdām. Jautājumi par viņa paša darbu statusu palika bez atbildes. Un tad 2002. gada beigās vairāki cilvēki saņēma e-pastu no Perelmana, informējot viņus par rakstu, ko viņš bija nosūtījis uz matemātisko serveri. Tā sākās viņa uzbrukums Puankarē minējumiem.

CĪŅA AR ĪPAŠĪBĀM

MĒĢINĀT IZMANTOT Riči plūsmas vienādojums, lai pierādītu Puankarē minējumu un 3 kolektoru ģeometrizāciju, zinātnieki saskārās ar grūtībām, kuras Grigorijam Perelmanam izdevās pārvarēt. Izmantojot Ricci plūsmu, lai pakāpeniski mainītu 3 kolektora formu, dažkārt rodas singularitātes. Piemēram, ja kāda objekta daļai ir hanteles forma (a), caurule starp sfērām var tikt saspiesta līdz punktam, tādējādi pārkāpjot kolektora īpašības (b). Iespējams arī, ka parādīsies tā sauktā cigāra formas iezīme.

PERELMANS RĀDĪJA, ka “operācijas” var veikt pazīmēm. Kad kolektors sāk saspiesties, izgrieziet nelielas daļas abās sašaurinājuma punkta pusēs (c), pārklājiet griezuma punktus ar mazām sfērām un pēc tam vēlreiz izmantojiet Ricci plūsmu (d). Ja šķipsna atkārtojas, procedūra jāatkārto. Perelmans arī pierādīja, ka cigāra formas iezīme nekad neparādās.

Perelmans pievienoja jaunu terminu Ricci plūsmas vienādojumam. Šīs izmaiņas nenovērsa īpatnības problēmu, bet ļāva veikt daudz padziļinātu analīzi. Krievu zinātnieks ir pierādījis, ka hanteles formas kolektoram var veikt “ķirurģisku” operāciju: nogriezt tievu cauruli abās topošā sašaurinājuma pusēs un no bumbiņām izvirzītās atvērtās caurules noblīvēt ar sfēriskiem vāciņiem. Pēc tam jāturpina mainīt “darbināto” kolektoru saskaņā ar Ricci plūsmas vienādojumu un piemērot iepriekš minēto procedūru visiem jaunajiem sašaurinājumiem. Perelmans arī parādīja, ka nevar parādīties cigāra formas vaibsti. Tādējādi jebkuru 3-kolektoru var reducēt līdz detaļu komplektam ar viendabīgu ģeometriju.

Ja Ricci plūsma un "ķirurģija" tiek piemērota visiem iespējamajiem 3-kolektoriem, jebkurš no tiem, ja tas ir tikpat vienkāršs kā 3-sfēra (citiem vārdiem sakot, to raksturo viena un tā pati homotopija), obligāti reducē līdz tādai pašai viendabīgai ģeometrijai. kā un 3-sfēra. Tas nozīmē, ka no topoloģiskā viedokļa attiecīgais kolektors ir 3 sfēras. Tādējādi 3-sfēra ir unikāla.

Perelmana rakstu vērtība slēpjas ne tikai Puankarē minējuma pierādīšanā, bet arī jaunās analīzes metodēs. Zinātnieki visā pasaulē jau izmanto krievu matemātiķa iegūtos rezultātus savā darbā un pielieto viņa izstrādātās metodes citās jomās. Izrādījās, ka Riči plūsma ir saistīta ar tā saukto renormalizācijas grupu, kas nosaka, kā mainās mijiedarbības stiprums atkarībā no daļiņu sadursmes enerģijas. Piemēram, pie zemām enerģijām elektromagnētiskās mijiedarbības stiprumu raksturo skaitlis 0,0073 (aptuveni 1/137). Tomēr, kad divi elektroni saduras frontāli ar gandrīz gaismas ātrumu, spēks tuvojas 0,0078. Matemātika, kas apraksta fizisko spēku izmaiņas, ir ļoti līdzīga matemātikai, kas apraksta kolektoru ģeometrizāciju.

Sadursmes enerģijas palielināšana ir līdzvērtīga spēka izpētei mazākos attālumos. Tāpēc renormalizācijas grupa ir līdzīga mikroskopam ar mainīgu palielinājuma koeficientu, kas ļauj pētīt procesu dažādos detalizācijas līmeņos. Tāpat Ricci plūsma ir mikroskops kolektoru apskatei. Vienā palielinājumā redzamie izvirzījumi un ieplakas pazūd citā. Visticamāk, ka Planka garuma skalā (apmēram $10^(–35)$ m) telpa, kurā dzīvojam, izskatās kā putas ar sarežģītu topoloģisko struktūru (skat. rakstu “Telpas un laika atomi”, “Pasaulē” zinātne”, Nr. 4, 2004). Turklāt vispārējās relativitātes teorijas vienādojumi, kas apraksta gravitācijas raksturlielumus un Visuma liela mēroga uzbūvi, ir cieši saistīti ar Riči plūsmas vienādojumu. Paradoksāli, bet termins Perelman, kas pievienots Hamiltona lietotajam izteicienam, ir radies stīgu teorijā, kas it kā ir gravitācijas kvantu teorija. Iespējams, ka krievu matemātiķa rakstos zinātnieki atradīs daudz vairāk noderīgas informācijas ne tikai par abstraktiem 3-kolektoriem, bet arī par telpu, kurā mēs dzīvojam.

Graham P. Collins, Ph.D., ir Scientific American redaktors. Plašāka informācija par Puankarē teorēmu ir pieejama www.sciam.com/ontheweb.

PAPILDU LITERATŪRA:

Puankara minējums 99 gadus vēlāk: progresa ziņojums. Džons V. Milnors. 2003. gada februāris. Pieejams vietnē www.math.sunysb.edu/~jack/PREPRINTS/poiproof.pdf
Žils Anrī Puankārs (biogrāfija). 2003. gada oktobris. Pieejams vietnē www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Poincare.html
Tūkstošgades problēmas. Māla matemātikas institūts: www.claymath.org/millennium/
Piezīmes un komentāri par Perelmana Ricci plūsmas dokumentiem. Sastādījuši Brūss Kleiners un Džons Lots. Pieejams vietnē www.math.lsa.umich.edu/research/ricciflow/perelman.html
Topoloģija. Ēriks V. Veisteins Mathworld-A Wolfram tīmekļa resursā. Pieejams plkst

Puankāras hipotēze un krievu mentalitātes iezīmes.

Īsumā: bezdarbnieks profesors, kuram ir tikai 40 gadu, ir atrisinājis vienu no 7 visgrūtākajām cilvēces problēmām, dzīvo paneļu mājā pilsētas nomalē kopā ar māti un tā vietā, lai saņemtu balvu, ko visi matemātiķi pasaules sapnī un miljons dolāru, lai boot, viņš atstāja vākt sēnes un lūdza viņu netraucēt viņu.

Un tagad sīkāk:

http://lenta.ru/news/2006/08/16/perelman/

Grigorijs Perelmans, kurš pierādīja Puankarē minējumu, atsakās no neskaitāmām balvām un naudas balvām, kas viņam piešķirtas par šo sasniegumu, vēsta laikraksts Guardian. Pēc plašās pierādījumu pārskatīšanas, kas ilga gandrīz četrus gadus, zinātnieku aprindas secināja, ka Perelmana risinājums ir pareizs.

Puankarē minējums ir viena no septiņām svarīgākajām matemātiskajām “tūkstošgades problēmām”, par kuru katras atrisināšanu Māla matemātikas institūts piešķīra viena miljona dolāru prēmiju. Līdz ar to Perelmanam vajadzētu saņemt atlīdzību. Zinātnieks nesazinās ar presi, bet laikraksts kļuva Zināms, ka Perelmans nevēlas ņemt šo naudu.Pēc matemātiķa domām, komisija, kas piešķīrusi balvu, nav pietiekami kvalificēta, lai novērtētu viņa darbu.

“Sanktpēterburgā nav droši iegūt miljonu dolāru,” profesionāļu sabiedrība jokojot norāda uz citu Perelmana neparastās uzvedības iemeslu. Par to laikrakstam pastāstīja Oksfordas universitātes matemātikas profesors Naidžels Hičins.

Nākamnedēļ, pēc baumām, tiks paziņots, ka Perelmanam šajā jomā piešķirta prestižākā starptautiskā Fīldsa medaļa, kas sastāv no vērtīgas medaļas un naudas balvas. Fīldsa medaļa tiek uzskatīta par Nobela prēmijas matemātisko ekvivalentu. To piešķir reizi četros gados Starptautiskajā matemātikas kongresā, un balvas ieguvēji nedrīkst būt vecāki par 40 gadiem. Arī Perelmans, kuram 2006. gadā apritēs četrdesmit un zaudēs iespēju kādreiz saņemt šo balvu, nevēlas pieņemt šo balvu.

Par Perelmanu jau sen zināms, ka viņš izvairās no formāliem pasākumiem un nemīl, ka viņu apbrīno. Taču pašreizējā situācijā zinātnieka uzvedība pārsniedz krēsla teorētiķa ekscentriskumu. Perelmans jau ir pametis akadēmisko darbu un atsakās pildīt profesora funkcijas. Tagad viņš vēlas paslēpties no atzinības par viņa pakalpojumiem matemātikā - viņa mūža darbā.

Grigorijs Perelmans astoņus gadus strādāja pie Puankarē teorēmas pierādīšanas. 2002. gadā viņš Los Alamos zinātniskās laboratorijas pirmsdrukas tīmekļa vietnē ievietoja problēmas risinājumu. Līdz šim viņš nekad nav publicējis savus darbus recenzējamā žurnālā, kas ir priekšnoteikums lielākajai daļai balvu.

Perelmanu var uzskatīt par standarta piemēru padomju izglītības produktiem. Viņš dzimis 1966. gadā Ļeņingradā. Viņš joprojām dzīvo šajā pilsētā. Perelmans mācījās specializētajā skolā Nr.239 ar padziļinātu matemātikas apguvi. Viņš uzvarēja neskaitāmās olimpiskajās spēlēs. Ļeņingradas Valsts universitātē bez eksāmeniem tiku uzņemts matemātikā un mehānikā. Saņēma Ļeņina stipendiju. Pēc universitātes viņš iestājās V.A.Steklova matemātikas institūta Ļeņingradas filiāles aspirantūrā, kur palika strādāt. Astoņdesmito gadu beigās Perelmans pārcēlās uz ASV, pasniedza vairākās universitātēs un pēc tam atgriezās savā vecajā vietā.

Grāfa Muravjova Sanktpēterburgas savrupmājas stāvoklis Fontankā, kur atrodas Matemātikas institūts, padara Perelmana sudraba trūkumu īpaši neadekvātu. Ēka, kā vēsta laikraksts Izvestija, var jebkurā brīdī sabrukt un iekrist upē.Datortehnikas (vienīgās matemātiķiem nepieciešamās iekārtas) iegādi vēl var finansēt ar dažādu grantu palīdzību, bet labdarības organizācijas nav gatavas. apmaksāt vēsturiskās ēkas restaurāciju.

==========================

http://www.newsinfo.ru/news/2006/08/news1325575.php

Vientuļnieks matemātiķis, kurš pierādīja vienu no grūtākajām zinātniskajām hipotēzēm — Puankarē teorēmu, ir ne mazāk noslēpumaina kā pati problēma.

Par viņu ir maz zināms. Institūtā iestājos pēc skolu olimpiāžu rezultātiem un saņēmu Ļeņina stipendiju. Sanktpēterburgas speciālajā skolā Nr. 239 viņu atceras kā slavenās mācību grāmatas “Izklaidējošā fizika” autora Jakova Perelmana dēlu. Grišas Perelmanes fotoattēls - dižgaru valdē kopā ar Lobačevski un Leibnicu.

"Viņš bija tik izcils students, tikai fiziskajā izglītībā... Citādi būtu bijusi medaļa," intervijā Channel One atceras viņa skolotāja Tamāra Efimova, Fizikas un matemātikas liceja 239 direktore.

Viņš vienmēr bija par tīru zinātni, pret formalitātēm – tā teica viņa bijušais skolas skolotājs, viens no retajiem, ar kuru Perelmans uzturēja sakarus visus astoņus meklējumu gadus. Kā viņš saka, matemātiķim bija jāatstāj darbs, jo viņam bija jāraksta raksti un ziņojumi, un Puankārs absorbēja visu savu laiku. Matemātika ir pirmajā vietā.

Perelmans pavadīja astoņus savas dzīves gadus, risinot vienu no septiņām neatrisināmajām matemātiskajām problēmām. Viņš strādāja viens, kaut kur bēniņos, slepeni. Viņš lasīja lekcijas Amerikā, lai uzturētu sevi mājās. Viņš pameta darbu, kas novērsa viņa uzmanību no galvenā mērķa, neatbild uz zvaniem un nesazinās ar presi.

Par vienas no septiņām neatrisināmām matemātikas problēmām atrisināšanu tiek piešķirts miljons dolāru; šī ir Fīldsa medaļa, Nobela prēmija matemātiķiem. Grigorijs Perelmans kļuva par galveno kandidātu tās saņemšanai.

Zinātnieks to zina, bet acīmredzot viņu neinteresē naudas atzīšana. Pēc kolēģu teiktā, viņš pat neiesniedza dokumentus balvai.

"Kā es saprotu, pašam Grigorijam Jakovļevičam miljons vispār nerūp," saka Krievijas Zinātņu akadēmijas akadēmiķis Ildars Ibragimovs. "Patiesībā šīs problēmas spēj atrisināt galvenokārt cilvēki, kuri nestrādās. šīs naudas dēļ. Es uztraukšos par kaut ko pavisam citu."

Perelmans publicēja darbu par Puankarē minējumu vienīgo reizi pirms trim gadiem internetā. Visdrīzāk pat ne darbs, bet skice uz 39 lappusēm. Viņš nepiekrīt rakstīt sīkāku ziņojumu ar detalizētiem pierādījumiem. Pat Pasaules matemātikas biedrības viceprezidentam, kurš speciāli ieradās Sanktpēterburgā, lai atrastu Perelmanu, tas neizdevās.

Pēdējo trīs gadu laikā neviens nav spējis atrast kļūdu Perelmana aprēķinos, kā to nosaka Fīldsa balvas nolikums. Q.E.D.

==============================

http://elementy.ru/news/430288

Puankarē minējumu pierādīšanas process tagad acīmredzot ieiet pēdējā posmā. Trīs matemātiķu grupas beidzot ir izdomājušas Grigorija Perelmana idejas un pēdējo pāris mēnešu laikā ir iesniegušas savas versijas par pilnīgu šīs hipotēzes pierādījumu.

Puankarē 1904. gadā formulēts minējums apgalvo, ka visas trīsdimensiju virsmas četrdimensiju telpā, kas homotopiski ir līdzvērtīgas sfērai, ir tai homeomorfas. Vienkārši sakot, ja trīsdimensiju virsma ir nedaudz līdzīga sfērai, tad, ja tā ir izkliedēta, tā var kļūt tikai par sfēru un neko citu. Sīkāku informāciju par šo pieņēmumu un tā pierādīšanas vēsturi lasiet populārajā rakstā 2000. gada problēmas: Puankarē pieņēmumi žurnālā Computerra.

Puankarē minējumu pierādīšanai, Matemātiskais institūts. Klejam tika piešķirta miljona dolāru balva, kas var šķist pārsteidzoši: galu galā mēs runājam par ļoti privātu, neinteresantu faktu. Faktiski matemātiķiem svarīgas ir ne tik daudz trīsdimensiju virsmas īpašības, cik fakts, ka pats pierādījums ir grūts. Šī problēma koncentrētā veidā formulē to, ko nevarēja pierādīt, izmantojot iepriekš pastāvošās ģeometrijas un topoloģijas idejas un metodes. Tas ļauj ielūkoties dziļākā līmenī, tajā problēmu slānī, ko var atrisināt tikai ar “jaunās paaudzes” ideju palīdzību.

Tāpat kā situācijā ar Fermā teorēmu, izrādījās, ka Puankarē minējums ir īpašs gadījums daudz vispārīgākam apgalvojumam par patvaļīgu trīsdimensiju virsmu ģeometriskajām īpašībām - Tērstona ģeometrizācijas pieņēmumam, tāpēc matemātiķu centieni nebija vērsti uz risinot šo konkrēto gadījumu, bet gan izveidot jaunu matemātisko pieeju, kas spēj tikt galā ar šādām problēmām.

Izrāvienu 2002.-2003.gadā veica krievu matemātiķis Grigorijs Perelmans. Savos trīs rakstos math.DG/0211159, math.DG/0303109, math.DG/0307245, ierosinot vairākas jaunas idejas, viņš izstrādāja un pabeidza metodi, ko 1980. gados ierosināja Ričards Hamiltons. Savos darbos Perelmans apgalvo, ka viņa konstruētā teorija ļauj pierādīt ne tikai Puankarē minējumu, bet arī ģeometrizācijas hipotēzi.

Metodes būtība ir tāda, ka ģeometriskiem objektiem ir iespējams definēt kādu “vienmērīgas evolūcijas” vienādojumu, līdzīgi kā teorētiskās fizikas renormalizācijas grupas vienādojums. Sākotnējā virsma šīs evolūcijas laikā tiks deformēta un, kā parādīja Perelmans, galu galā vienmērīgi pārvērtīsies par sfēru. Šīs pieejas stiprā puse ir tāda, ka, apejot visus starpposma momentus, jūs varat uzreiz ieskatīties "bezgalībā", pašās evolūcijas beigās un atklāt tur kādu sfēru.

Perelmana darbi iezīmēja intrigas sākumu. Savos rakstos viņš izstrādāja vispārīgu teoriju un iezīmēja galvenos punktus ne tikai Puankarē pieņēmuma, bet arī ģeometrizācijas hipotēzes pierādīšanā. Perelmans nesniedza pilnīgus pierādījumus visās detaļās, lai gan viņš apgalvoja, ka ir pierādījis abas hipotēzes. Arī 2003. gadā Perelmans devās turnejā pa Amerikas Savienotajām Valstīm ar lekciju sēriju, kuru laikā skaidri un detalizēti atbildēja uz visiem klausītāju tehniskajiem jautājumiem.

Tūlīt pēc Perelmana preprintu publicēšanas eksperti sāka pārbaudīt viņa teorijas galvenos punktus, un vēl nav atrasta neviena kļūda. Turklāt pēdējo gadu laikā vairākas matemātiķu komandas ir spējušas absorbēt Perelmana piedāvātās idejas tādā mērā, ka tās sāka pierakstīt pilnīgu pierādījumu "skaidrā formā".

2006. gada maijā parādījās B. Kleinera, J. Lota raksts, math.DG/0605667, kurā tika sniegts detalizēts Perelmana pierādījumā izlaisto punktu atvasinājums. (Starp citu, šie autori uztur tīmekļa lapu, kas veltīta Perelmana rakstiem un saistītajiem darbiem.)

Pēc tam 2006. gada jūnijā Asian Journal of Mathematics publicēja 327 lappušu garu ķīniešu matemātiķu Huai-Dong Cao un Xi-Ping Zhu rakstu ar nosaukumu "Puankarē un ģeometrizācijas minējumu pilnīgs pierādījums — Riči Hamiltona-Perelmana teorijas pielietojums. plūsmas." Paši autori neapgalvo, ka viņiem ir pilnīgi jauns pierādījums, bet tikai apgalvo, ka Perelmana pieeja patiešām darbojas.

Beidzot kādu dienu parādījās 473 lappušu garš raksts (vai tā jau ir grāmata?) J. W. Morgan, G. Tian, math.DG/0607607, kurā autori, ejot Perelmana pēdās, prezentē savu Puankarē minējuma (nevis vispārīgākas ģeometrizācijas hipotēzes) pierādījums. Džons Morgans tiek uzskatīts par vienu no galvenajiem šīs problēmas ekspertiem, un pēc viņa darba publicēšanas acīmredzot var uzskatīt, ka Puankarē minējums ir beidzot pierādīts.

Interesanti, starp citu, ka sākotnēji Ķīnas matemātiķu raksts tika izplatīts tikai papīra versijā par cenu 69 USD, tāpēc ne visiem bija iespēja to apskatīt. Bet jau nākamajā dienā pēc Morgana-Tjana raksta parādīšanās pirmsdrukas arhīvā, Āzijas matemātikas žurnāla vietnē parādījās raksta elektroniskā versija.

Laiks rādīs, kura Perelmana pierādījumu precizējums ir precīzāks un pārredzamāks. Iespējams, ka nākamajos gados tas kļūs vienkāršāks, kā tas notika ar Fermā teorēmu. Pagaidām redzams tikai publikāciju apjoma pieaugums: no Perelmana 30 lappušu rakstiem līdz biezai Morgana un Tjana grāmatai, taču tas nav saistīts ar pierādīšanas sarežģītību, bet gan ar detalizētāku atvasinājumu. no visiem starpposmiem.

Pagaidām ir paredzēts, ka pieņēmuma galīgais pierādījums un, iespējams, kam tiks piešķirta Māla institūta balva, "oficiāli" tiks paziņots Starptautiskajā matemātiķu kongresā Madridē šā gada augustā. Turklāt klīst baumas, ka Grigorijs Perelmans kļūs par vienu no četriem Fīldsas medaļniekiem, kas ir augstākais jauno matemātiķu apbalvojums.

Šīs ziņas izplatījās NVS medijos. 39 gadus vecais Sanktpēterburgas zinātnieks GRIGORIJS PERELMANS ir reāls kandidāts uz Fīldsa medaļu (1 miljons ASV dolāru), kas ir augstākais apbalvojums matemātikas pasaulē (kā zināms, Nobela prēmija matemātiķiem netiek piešķirta).

Franču matemātiķis Puankārs mēģināja noskaidrot, vai trīsdimensiju telpa ir sfēra. Viņš nevarēja atrast pierādījumus šai tēzei vai atspēkot to. Starp Puankarē hipotēzes dīvainajām sekām, kas ir pretrunā ar mūsu ikdienas priekšstatiem, mēs izceļam sekojošo: ar kāda superjaudīga teleskopa palīdzību, ieskatoties kosmiskā attālumā no Zemes, jūs varat skaidri redzēt savu dzimto... Zeme vai, izlidojot garā kosmosa ceļojumā, nonāk izlidošanas punktā.

Ik pēc dažiem gadiem zinātniskajos žurnālos tiek publicēti mēģinājumi pierādīt Puankarē minējumu, taču neviens no piedāvātajiem risinājumiem vēl nav izturējis zinātnisko pārbaudi. Beigās izrādījās, ka pierādījums bija nepareizs. Grigorijs Perelmans savus darbus publicēja internetā 2002. gadā, un neviens tos neatspēkoja (kontroles periods - 2 gadi). Turklāt daudzi ievērojami zinātnieki uzskata, ka Perelmana lēmums ir pareizs. Un viņi sūdzas, ka viņa darbi ir ļoti saīsināti, kodolīgi un aizņem tikai dažus desmitus lappušu (60).

Balvas saņemšanas noteikumi paredz publikāciju regulāri izdota zinātniskā žurnāla lappusēs un dažu citu formalitāšu ievērošanu. Pēterburgas iedzīvotājs Perelmans, kurš savā mājas institūtā pelna aptuveni 200 dolārus (6000 rubļus), tos ignorē. Tie ir viņa dzīves noteikumi. Stingra to ievērošana, iespējams, ļāva sasniegt unikālus zinātniskus rezultātus. Sanktpēterburgas žurnālisti mēģināja satikt oriģinālu, kas tik atbilst populārām idejām par ģēnijiem. Viss, ko viņiem izdevās noskaidrot: Perelmans regulāri piedalās Sanktpēterburgas filharmonijas klasiskās mūzikas koncertos, ēd putras, ir vienaldzīgs pret apģērbu, tiek uzskatīts par dīvainu pat savā zinātnieku aprindās un viņam nepatīk prese.

Tātad, par negaidītām Puankarē teorēmas sekām. Miljons dolāru nav nekas cilvēkam, kurš zina, kas ir kosmoss. Mēs vēlētos Perelmana kunga dzelžainu pārliecību.

Komentārs no speciālista - Ukrainas Nacionālās Zinātņu akadēmijas korespondenta locekļa, matemātiķa Vladimira Šarko:

Tagad bez krievu matemātiķa darbiem ir parādījušies pierādījumi ķīniešu profesori Džu Sjipins un Lehai Kao, bet otro – amerikāņi Džona Morgana vadībā. Bet čempionāts, protams, pieder Perelmanam. Lai gan patiesībā tam nav pierādījumu. Tieši tāpēc, ka tas nav publicēts, bet eksistē tikai īsi, abstrakti. Perelmana darbs "karājas" vietnēs, tāpat kā jebkurš cits neoficiāls darbs.

– Vai Perelmans tiešām ir tik ekscentrisks?

Viņš ir mīļš, patīkams cilvēks, ar kuru runāt. Tipisks Pēterburgas intelektuālis. Mēs tikāmies dažādās zinātniskās konferencēs. Diez vai to var saukt par dīvainu. Iespējams, viņu nedaudz kaitina žurnālisti un viņš ar viņiem izspēlē.

Tā vien šķiet, ka bonuss jau ir kabatā, tāpēc viņa uzvedība tiek uzskatīta par dīvainu. Šāda ranga apbalvojumiem nepieciešams kolēģu un zinātnieku aprindas atbalsts. Un krievi diemžēl nevar sniegt atbilstošu atbalstu. Līdz ar to par balvu vēl pāragri runāt. Lai gan no citiem apbalvojumiem Sanktpēterburgas iedzīvotājs patiešām atteicās.

- Vai Perelmana atklājumam ir kāda praktiska nozīme?

Vēl nē. Bet, kā likums, matemātiskie atklājumi galu galā atrod pielietojumu. Piemēram, matemātikas sasniegumi tiek aktīvi izmantoti mūsdienu laika prognozēšanā. Biologi tagad cieši sadarbojas ar matemātiķiem. Galu galā genoms tika atšifrēts ar pirmās palīdzības palīdzību. Pateicoties matemātiķu darbam, parādījās arī datori. Tā patiesībā ir ļoti noderīga un praktiska zinātne.

– Vai Kijevas iedzīvotāji var lepoties ar kādu izrāvienu?

Patīkamākā ziņa: Kijevas Matemātikas institūtā parādās jaunieši. Nav noslēpums, ka tas bija grūts laiks un cilvēki aizgāja, īpaši jaunieši. Bet institūta direktoram akadēmiķim Anatolijam Samoiļenko izdevās to noturēt atbilstošā līmenī, kas bija ļoti grūti. Tagad mēs varam runāt par situācijas normalizēšanu.

Nesen Kijevas puisis no Politehnikuma ieņēma pirmo vietu Eiropas skolēnu olimpiādē. Kas kopumā liecina par labu matemātikas un zinātniskā darba mācīšanas līmeni Kijevā. Ukrainā ir slavenas matemātikas skolas: Doņeckā, Harkovā; Sāka atdzīvoties slavenā pirmskara Ļvovas matemātiķu skola. Varbūt kādreiz mēs iepriecināsim zinātnieku aprindu ar izciliem darbiem.

Mana atkāpe: Puankarē minējums saka: Katrs vienkārši savienots kompakts trīsdimensiju kolektors bez robežām ir homeomorfs trīsdimensiju sfērai.