Poincaréjeva domneva: formulacija in dokaz. Izrek o oblikah prostora, ki ga je Perelman dokazal s preprostimi besedami

Foto: N. Chetverikova Zadnji veliki dosežek čiste matematike se imenuje dokaz, ki ga je prebivalec Sankt Peterburga Grigorij Perelman v letih 2002–2003 potrdil Poincaréjevo domnevo, ki je bila izrečena leta 1904 in pravi: »vsak povezan, preprosto povezan, kompakten tridimenzionalni mnogoterost brez meje je homeomorfna sferi S 3.«

V tej besedni zvezi je več izrazov, ki jih bom poskušal razložiti, da bo njihov splošen pomen jasen nematematikom (predvidevam, da je bralec končal srednjo šolo in se še spomni nekaj svoje šolske matematike).

Začnimo s konceptom homeomorfizma, ki je osrednjega pomena za topologijo. Na splošno je topologija pogosto opredeljena kot "gumijasta geometrija", tj. kot veda o lastnostih geometrijskih slik, ki se ne spreminjajo med gladkimi deformacijami brez prelomov in lepljenja, ali natančneje, če je mogoče vzpostaviti eno proti -ena in medsebojno neprekinjena korespondenca med dvema predmetoma.

Glavno idejo je najlažje razložiti na klasičnem primeru skodelice in krofa. Prvega je mogoče preoblikovati v drugega z zvezno deformacijo: te slike jasno kažejo, da je vrč homeomorfen krofu, in to dejstvo velja tako za njihove površine (dvodimenzionalne mnogoterosti, imenovane torus) kot za napolnjena telesa (tri -dimenzionalni razdelilniki z robom).

Podajamo razlago preostalih izrazov, ki se pojavljajo v formulaciji hipoteze.

1. Tridimenzionalni razdelilnik brez roba. To je geometrijski objekt, v katerem ima vsaka točka sosesko v obliki tridimenzionalne krogle. Primeri 3-raznoterosti vključujejo, prvič, celoten tridimenzionalni prostor, označen z R 3 , kot tudi vse odprte množice točk v R 3 , na primer notranjost polnega torusa (krofa). Če upoštevamo zaprt polni torus, tj. dodamo njegove mejne točke (površino torusa), potem dobimo kolektor z robom - robne točke nimajo soseske v obliki krogle, ampak samo v obliki pol žoge.

2. Povezan. Koncept povezljivosti je tukaj najpreprostejši. Kolektor je povezan, če je sestavljen iz enega kosa, ali, kar je enako, katerikoli dve njegovi točki sta lahko povezani z neprekinjeno črto, ki ne presega njegovih meja.

3. Preprosto povezan. Koncept preproste povezanosti je bolj zapleten. To pomeni, da se lahko katera koli zvezna zaprta krivulja, ki je v celoti znotraj danega razdelilnika, gladko skrči v točko, ne da bi zapustila ta razdelilnik. Na primer, navadna dvodimenzionalna krogla v R 3 je preprosto povezana (gumijasti trak, ki je na kakršen koli način nameščen na površini jabolka, se lahko z gladko deformacijo gladko potegne na eno točko, ne da bi gumijasti trak odtrgal z jabolka) . Po drugi strani pa krog in torus nista preprosto povezana.

4. Kompakten. Različica je kompaktna, če ima katera koli njena homeomorfna podoba omejene dimenzije. Na primer, odprt interval na premici (vse točke segmenta razen njegovih koncev) ni kompakten, saj ga je mogoče zvezno razširiti na neskončno premico. Toda zaprt segment (s konci) je kompakten kolektor z mejo: za vsako zvezno deformacijo gredo konci do določenih točk, celoten segment pa mora iti v omejeno krivuljo, ki povezuje te točke.

Dimenzija kolektorja je število prostostnih stopinj točke, ki "živi" na njem. Vsaka točka ima sosesko v obliki diska ustrezne dimenzije, to je interval premice v enodimenzionalnem primeru, krog na ravnini v dveh dimenzijah, krogla v treh dimenzijah itd. Iz točke s topološkega vidika obstajata samo dve enodimenzionalni povezani mnogoterosti brez roba: črta in krog. Od teh je le krog kompakten.

Primer prostora, ki ni mnogoterost, je na primer par sekajočih se črt – navsezadnje ima vsaka soseska na presečišču dveh črt obliko križa, nima soseske, ki bi je samo interval (in vse druge točke imajo takšne soseske). V takih primerih matematiki pravijo, da imamo opravka s posebno sorto, ki ima eno posebno točko.

Dvodimenzionalni kompaktni kolektorji so dobro znani. Če upoštevamo samo orientacijski 1 mnogoterosti brez meje, potem s topološkega vidika tvorijo preprost, čeprav neskončen seznam: in tako naprej. Vsak tak kolektor dobimo iz krogle z lepljenjem več ročajev, katerih število imenujemo rod ploskve.

1 Zaradi pomanjkanja prostora ne bom govoril o neorientabilnih mnogoterostih, primer katerih je znamenita Kleinova steklenica - ploskev, ki je ni mogoče vgraditi v prostor brez samopresečišč.

Slika prikazuje ploskve rodu 0, 1, 2 in 3. Po čem se krogla razlikuje od vseh ploskev na tem seznamu? Izkazalo se je, da je preprosto povezana: na krogli je mogoče vsako zaprto krivuljo skrčiti v točko, na kateri koli drugi površini pa je vedno mogoče navesti krivuljo, ki je ni mogoče skrčiti v točko na površini.

Zanimivo je, da je mogoče tridimenzionalne kompaktne mnogoterosti brez meja klasificirati v določenem smislu, to je razvrstiti v določen seznam, čeprav ne tako preprosto kot v dvodimenzionalnem primeru, vendar ima precej zapleteno strukturo. Vendar pa 3D krogla S 3 izstopa na tem seznamu tako kot 2D krogla na zgornjem seznamu. Dejstvo, da se vsaka krivulja na S 3 skrči v točko, je dokazano tako preprosto kot v dvodimenzionalnem primeru. Toda nasprotna trditev, namreč, da je ta lastnost edinstvena specifično za sfero, tj. da na katerem koli drugem tridimenzionalnem mnogoterju obstajajo nekontraktibilne krivulje, je zelo težka in natančno sestavlja vsebino Poincaréjeve domneve, o kateri govorimo .

Pomembno je razumeti, da lahko raznolikost živi sama od sebe; lahko si jo predstavljamo kot neodvisen objekt, ki ni nikjer ugnezden. (Predstavljajte si, da živite kot dvodimenzionalna bitja na površini navadne krogle, ne da bi vedeli za obstoj tretje dimenzije.) Na srečo je mogoče vse dvodimenzionalne površine na zgornjem seznamu ugnezditi v običajnem prostoru R3, kar jih olajša vizualizirati. Za tridimenzionalno kroglo S 3 (in nasploh za katero koli kompaktno tridimenzionalno mnogoterost brez meje) to ne velja več, zato je potrebno nekaj truda za razumevanje njene strukture.

Očitno je najenostavnejši način za razlago topološke strukture tridimenzionalne krogle S 3 z enotočkovno kompaktifikacijo. Tridimenzionalna krogla S 3 je namreč enotočkovna kompaktifikacija navadnega tridimenzionalnega (neomejenega) prostora R 3 .

Najprej razložimo to konstrukcijo s preprostimi primeri. Vzemimo navadno neskončno premico (enodimenzionalni analog prostora) in ji dodamo eno "neskončno oddaljeno" točko, ob predpostavki, da ko se premikamo po ravni črti v desno ali levo, na koncu pridemo do te točke. S topološkega vidika ni razlike med neskončno črto in omejenim odprtim segmentom črte (brez končnih točk). Tak segment lahko neprekinjeno upognemo v obliki loka, približamo konce in prilepimo manjkajočo točko na stičišču. Očitno bomo dobili krog - enodimenzionalni analog krogle.

Na enak način, če vzamem neskončno ravnino in dodam eno točko v neskončnosti, h kateri težijo vse premice prvotne ravnine, ki potekajo v kateri koli smeri, dobimo dvodimenzionalno (navadno) kroglo S 2. Ta postopek lahko opazujemo s pomočjo stereografske projekcije, ki vsaki točki P krogle, z izjemo severnega pola N, dodeli določeno točko na ravnini P":

Tako je krogla brez ene točke topološko enaka ravnini, dodajanje točke pa ravnino spremeni v kroglo.

Načeloma je popolnoma enaka konstrukcija uporabna za tridimenzionalno kroglo in tridimenzionalni prostor, le da je za njeno izvedbo potrebno vstopiti v četrto dimenzijo in tega ni tako enostavno prikazati na risbi. Zato se bom omejil na besedni opis enotočkovne kompaktifikacije prostora R 3 .

Predstavljajte si, da našemu fizičnemu prostoru (ki ga po Newtonu smatramo za neomejen evklidski prostor s tremi koordinatami x, y, z) dodamo eno točko »v neskončnosti« tako, da pri premočrtnem gibanju v poljubnem smer, v katero prideš tja (tj. vsaka prostorska črta se sklene v krog). Nato dobimo kompakten tridimenzionalni mnogoterost, ki je po definiciji krogla S 3 .

Lahko razumemo, da je krogla S 3 preprosto povezana. Pravzaprav se lahko katera koli zaprta krivulja na tej krogli nekoliko premakne, tako da ne gre skozi dodano točko. Nato dobimo krivuljo v navadnem prostoru R 3, ki se zlahka skrči v točko preko homotetij, tj. zveznega stiskanja v vseh treh smereh.

Da bi razumeli, kako je strukturirana varieteta S 3, je zelo poučno razmisliti o njeni razdelitvi na dva polna torusa. Če odstranimo polni torus iz prostora R 3, potem bo ostalo nekaj nejasnega. In če je prostor strnjen v kroglo, potem se tudi ta komplement spremeni v trden torus. To pomeni, da je krogla S 3 razdeljena na dva polna torusa, ki imata skupno mejo - torus.

Evo, kako lahko to razumete. V R 3 vdelajmo torus kot običajno v obliki okroglega krofa in narišimo navpično črto - os vrtenja tega krofa. Skozi os narišemo poljubno ravnino, ki bo sekala naš polni torus po dveh krogih, ki sta na sliki prikazani zeleno, dodatni del ravnine pa je razdeljen na neprekinjeno družino rdečih krogov. Sem sodi središčna os, ki je bolj poudarjena, saj se v krogli S 3 premica sklene v krog. Iz te dvodimenzionalne slike z vrtenjem okoli osi dobimo tridimenzionalno sliko. Celoten nabor zasukanih krogov bo zapolnil tridimenzionalno telo, homeomorfno trdnemu torusu, le videti nenavadno.

Pravzaprav bo osrednja os v njej aksialni krog, ostali pa bodo igrali vlogo vzporednic - krogov, ki sestavljajo navaden trdni torus.

Da bi imel s čim primerjati 3-sfero, bom dal še en primer kompaktne 3-mnogoterosti, in sicer tridimenzionalni torus. Tridimenzionalni torus je mogoče sestaviti na naslednji način. Za začetni material vzemimo navadno tridimenzionalno kocko:

Ima tri pare robov: levi in desni, zgornji in spodnji, sprednji in zadnji. V vsakem paru vzporednih ploskev v paru določimo točke, ki jih dobimo druga od druge s prenosom po robu kocke. To pomeni, da bomo (čisto abstraktno, brez uporabe fizičnih deformacij) predpostavili, da sta na primer A in A" ista točka, B in B pa sta prav tako ena točka, vendar različna od točke A. Vse notranje točke kocke Upoštevali ga bomo kot običajno. Sama kocka je razdelilnik z robom, vendar se po končanem lepljenju rob zapre sam vase in izgine. Pravzaprav sta soseski točk A in A" v kocki (ležita na levi in desni zasenčeni ploskvi) polovice kroglic, ki se po lepljenju ploskev združita v celo kroglo, ki služi kot soseska ustrezna točka tridimenzionalnega torusa.

Če želite začutiti strukturo 3-torusa, ki temelji na vsakdanjih predstavah o fizičnem prostoru, morate izbrati tri medsebojno pravokotne smeri: naprej, levo in navzgor - in mentalno upoštevati, kot v zgodbah znanstvene fantastike, da pri premikanju v kateri koli od teh smeri , dokaj dolg, a končen čas, se bomo vrnili na izhodišče, vendar iz nasprotne smeri.Tudi to je »kompaktifikacija prostora«, vendar ne enotočkovna, ki je bila prej uporabljena za konstrukcijo krogle, ampak bolj kompleksna.

Na tridimenzionalnem torusu obstajajo nekontraktibilne poti; na primer, to je segment AA" na sliki (na torusu predstavlja zaprto pot). Ni ga mogoče skrčiti, ker se morata za vsako neprekinjeno deformacijo točki A in A" premikati vzdolž svojih ploskev in ostati strogo drug proti drugemu ( drugače se bo krivulja odprla).

Vidimo torej, da obstajajo enostavne in neenostavno povezane kompaktne 3-raznoternosti. Perelman je dokazal, da je enostavno povezan kolektor natanko ena.

Začetna ideja dokaza je uporaba tako imenovanega "Riccijevega toka": vzamemo preprosto povezano kompaktno 3-množico, jo opremimo s poljubno geometrijo (tj. uvedemo neko metriko z razdaljami in koti), nato pa razmislimo njegov razvoj vzdolž toka Ricci. Richard Hamilton, ki je predlagal to idejo leta 1981, je upal, da bo ta razvoj našo raznolikost spremenil v kroglo. Izkazalo se je, da to ni res - v tridimenzionalnem primeru je Riccijev tok sposoben pokvariti kolektor, to je, da ga naredi ne-kolektorja (nekaj s singularnimi točkami, kot v zgornjem primeru sekajočih se črt) . Perelman je s premagovanjem neverjetnih tehničnih težav z uporabo težkega aparata parcialnih diferencialnih enačb uspel v Riccijev tok v bližini singularnih točk vnesti popravke tako, da se med evolucijo topologija mnogoterosti ne spremeni, ne nastanejo singularne točke in na koncu se spremeni v okroglo kroglo. Toda končno moramo pojasniti, kaj je ta Riccijev tok. Tokovi, ki sta jih uporabila Hamilton in Perelman, se nanašajo na spremembe v intrinzični metriki na abstraktnem mnogoterju in to je precej težko razložiti, zato se bom omejil na opis "zunanjega" Riccijevega toka na enodimenzionalnih mnogoterjih, vgrajenih v ravnino.

Predstavljajmo si gladko sklenjeno krivuljo na evklidski ravnini, izberimo smer na njej in v vsaki točki upoštevajmo tangentni vektor enotske dolžine. Nato se bo ta vektor pri kroženju po krivulji v izbrani smeri vrtel z neko kotno hitrostjo, kar imenujemo ukrivljenost. Na mestih, kjer je krivulja bolj strma, bo ukrivljenost (v absolutni vrednosti) večja, kjer je bolj gladka, pa bo ukrivljenost manjša.

Ukrivljenost bomo imeli za pozitivno, če se vektor hitrosti obrne proti notranjemu delu ravnine, ki ga naša krivulja deli na dva dela, in negativno, če se obrne navzven. Ta dogovor ni odvisen od smeri, v kateri gre krivulja. Na prevojnih točkah, kjer rotacija spremeni smer, bo ukrivljenost enaka 0. Na primer, krog s polmerom 1 ima konstantno pozitivno ukrivljenost 1 (če se meri v radianih).

Zdaj pa pozabimo na tangentne vektorje in, nasprotno, na vsako točko krivulje pritrdimo vektor, ki je pravokoten nanjo, enak po dolžini ukrivljenosti na dani točki in usmerjen navznoter, če je ukrivljenost pozitivna, in navzven, če je negativna , nato pa naredite, da se vsaka točka premakne v smeri ustreznega vektorja s hitrostjo, sorazmerno z njeno dolžino. Tukaj je primer:

Izkazalo se je, da se vsaka sklenjena krivulja na ravnini med takšnim razvojem obnaša podobno, tj. da se na koncu spremeni v krog. To je dokaz enodimenzionalnega analoga Poincaréjeve domneve z uporabo Riccijevega toka (vendar je sama izjava v tem primeru že očitna, le metoda dokaza ponazarja, kaj se dogaja v dimenziji 3).

Naj na koncu omenimo, da Perelmanovo sklepanje ne dokazuje le Poincaréjeve domneve, ampak tudi veliko bolj splošno Thurstonovo geometrizacijsko domnevo, ki v določenem smislu opisuje strukturo vseh na splošno kompaktnih tridimenzionalnih mnogoterosti. Toda ta tema presega obseg tega osnovnega članka.

Sergej Dužin,
Doktorica fizike in matematike znanosti,
Višji raziskovalec
Podružnica St. Petersburg
Matematični inštitut Ruske akademije znanosti

Sijajni matematik in pariški profesor Henri Poincaré je deloval na različnih področjih te znanosti. Neodvisno in neodvisno od Einsteinovega dela je leta 1905 predstavil glavna načela posebne teorije relativnosti. Svojo znamenito hipotezo je oblikoval že leta 1904, tako da je za njeno rešitev trajalo približno stoletje.

Poincaré je bil eden od ustanoviteljev topologije - vede o lastnostih geometrijskih likov, ki se ne spreminjajo pod deformacijami, ki se pojavljajo brez prelomov. Na primer, balon je mogoče zlahka deformirati v različne oblike, tako kot to počnejo otroci v parku. Toda žogico boste morali prerezati, da jo boste zvili v krof (ali v geometrijskem jeziku torus) - ni druge poti. In obratno: vzemite gumijast krof in ga poskusite "obrniti" v kroglo. Vendar še vedno ne bo delovalo. Po svojih topoloških lastnostih sta površini krogle in torusa nekompatibilni oziroma nehomeomorfni. Toda vse površine brez "lukenj" (zaprte površine), nasprotno, so homeomorfne in se lahko deformirajo in spremenijo v kroglo.

Če je bilo v 19. stoletju vse odločeno o dvodimenzionalnih površinah krogle in torusa, je za bolj večdimenzionalne primere trajalo veliko dlje. To je pravzaprav bistvo Poincaréjeve domneve, ki razširja vzorec na večdimenzionalne primere. Če nekoliko poenostavimo, Poincaréjeva domneva pravi: "Vsaka enostavna zaprta n-dimenzionalna mnogoterost je homeomorfna n-dimenzionalni krogli." Smešno je, da se je možnost s tridimenzionalnimi površinami izkazala za najtežjo. Leta 1960 je bila hipoteza dokazana za dimenzije 5 in višje, leta 1981 - za n = 4. Kamen spotike je bila ravno tridimenzionalnost.

Grigory Perelman je z razvojem idej Williama Thurstana in Richarda Hamiltona, ki sta jih predlagala v osemdesetih letih, uporabil posebno enačbo "gladke evolucije" za tridimenzionalne površine. In lahko je pokazal, da se bo prvotna tridimenzionalna površina (če na njej ni diskontinuitet) nujno razvila v tridimenzionalno kroglo (to je površina štiridimenzionalne krogle in obstaja v 4-dimenzionalnem prostor). Po mnenju številnih strokovnjakov je šlo za idejo »nove generacije«, katere rešitev odpira nova obzorja matematične znanosti.

Zanimivo je, da se sam Perelman iz neznanega razloga ni potrudil, da bi svojo odločitev pripeljal do končnega sijaja. Potem ko je rešitev "na splošno" opisal v prednatisu Entropijska formula za Riccijev tok in njene geometrijske aplikacije novembra 2002, je marca 2003 dokaz dopolnil in predstavil v prednatisu Riccijev tok z operacijo na treh mnogoterostih in tudi o metodi poročal v seriji predavanj, ki jih je imel leta 2003 na povabilo številnih univerz. Nobeden od recenzentov ni našel napak v različici, ki jo je predlagal, vendar Perelman ni objavil objave v recenzirani znanstveni publikaciji (kar je bil zlasti nujen pogoj za prejem nagrade). Toda leta 2006 je na podlagi njegove metode izšel cel niz dokazov, v katerih so ameriški in kitajski matematiki podrobno in v celoti preučili problem, dopolnili točke, ki jih je Perelman izpustil, in pripravili "končni dokaz" Poincaréjeve domneve.

Leta 1904 je Henri Poincaré predlagal, da se lahko vsak tridimenzionalni predmet, ki ima določene lastnosti tridimenzionalne krogle, pretvori v 3-kroglo. Za dokazovanje te hipoteze je trajalo 99 let. (Opozorilo! Tridimenzionalna krogla ni to, kar mislite, da je.) Ruski matematik je dokazal pred stoletjem izrečeno Poincaréjevo domnevo in dokončal ustvarjanje kataloga oblik tridimenzionalnih prostorov. Morda bo prejel 1 milijon dolarjev bonusa.

Ozrite se okoli. Predmeti okoli vas, tako kot vi sami, so skupek delcev, ki se gibljejo v tridimenzionalnem prostoru (3-različnik), ki se razteza v vse smeri več milijard svetlobnih let.

Kolektorji so matematične konstrukcije. Od časov Galileja in Keplerja so znanstveniki uspešno opisovali realnost v smislu ene ali druge veje matematike. Fiziki verjamejo, da se vse na svetu dogaja v tridimenzionalnem prostoru in da je položaj katerega koli delca mogoče določiti s tremi številkami, na primer z zemljepisno širino, dolžino in nadmorsko višino (zaenkrat pustimo ob strani predpostavko iz teorije strun, da poleg trem dimenzijam, ki jih opazujemo, je več dodatnih).

V skladu s klasično in tradicionalno kvantno fiziko je prostor fiksen in nespremenljiv. Hkrati ga splošna teorija relativnosti obravnava kot aktivnega udeleženca dogajanja: razdalja med dvema točkama je odvisna od prehajanja gravitacijskih valov in od tega, koliko snovi in energije se nahaja v bližini. Toda tako v Newtonovi kot Einsteinovi fiziki je prostor - neskončen ali končen - v vsakem primeru 3-raznoterost. Zato je za popolno razumevanje temeljev, na katerih sloni skoraj vsa sodobna znanost, potrebno razumeti lastnosti 3-množic (4-množic ni nič manj zanimiv, saj prostor in čas skupaj tvorita enega izmed njih).

Veja matematike, v kateri preučujemo mnogoterosti, se imenuje topologija. Topologi so najprej postavili temeljna vprašanja: kateri je najenostavnejši (tj. najmanj kompleksen) tip 3-množic? Ali ima enako preproste brate ali je edinstven? Kakšne vrste 3-razdelilnikov obstajajo?

Odgovor na prvo vprašanje je že dolgo znan: najenostavnejši kompaktni 3-množetnik je prostor, imenovan 3-sfera (Nekompaktni mnogoterniki so neskončni ali imajo robove. Spodaj so obravnavani samo kompaktni mnogoterniki). Dve drugi vprašanji sta ostali odprti celo stoletje. Šele leta 2002 jim je odgovoril ruski matematik Grigorij Perelman, ki je očitno uspel dokazati Poincaréjevo domnevo.

Pred natanko stotimi leti je francoski matematik Henri Poincaré predlagal, da je 3-krogla edinstvena in da nobena druga kompaktna 3-mnogoterost nima lastnosti, zaradi katerih je tako preprosta. Bolj zapletene 3-množice imajo meje, ki stojijo kot opečni zid, ali več povezav med določenimi območji, kot je gozdna pot, ki se odcepi in nato spet združi. Vsak tridimenzionalni objekt z lastnostmi 3-sfere je mogoče transformirati vanjo samo, zato se topologom zdi le njena kopija. Perelmanov dokaz nam omogoča tudi odgovor na tretje vprašanje in razvrstitev vseh obstoječih 3-mnogoternikov.

Potrebovali boste precej domišljije, da si zamislite 3-sfero (glejte VEČDIMENZIONALNA GLASBA SFERAL). Na srečo ima veliko skupnega z 2-sfero, katere tipičen primer je guma okroglega balona: je dvodimenzionalna, saj vsako točko na njej določata le dve koordinati - zemljepisna širina in dolžina. Če pregledate precej majhno površino pod močnim povečevalnim steklom, se bo zdelo kot kos ravnega lista. Drobni žuželki, ki se plazi po balonu, se zdi, da je ravna površina. Toda če se booger premika v ravni črti dovolj dolgo, se bo sčasoma vrnil na svojo izhodiščno točko. Na enak način bi 3-kroglo v velikosti našega vesolja dojemali kot »navaden« tridimenzionalni prostor. Ko bi leteli dovolj daleč v katero koli smer, bi jo na koncu "obkrožili" in končali nazaj na naši začetni točki.

Kot ste morda uganili, se n-dimenzionalna krogla imenuje n-krogla. Na primer, 1-krogla je znana vsem: je samo krog.

Grigory Perelman predstavi svoj dokaz Poincaréjeve domneve in dokončanje Thurstonovega geometrizacijskega programa na seminarju na univerzi Princeton aprila 2003.

Preizkušanje hipotez

Pol stoletja je minilo, preden je zadeva o Poincaréjevi domnevi zaživela. V 60. letih XX stoletje Matematiki so ji podobne izjave dokazali za krogle petih ali več dimenzij. V vsakem primeru je n-krogla res edina in najenostavnejša n-mnogoterost. Nenavadno se je izkazalo, da je lažje dobiti rezultate za večdimenzionalne krogle kot za 3- in 4-krogle. Dokaz za štiri dimenzije se je pojavil leta 1982. In le prvotna Poincaréjeva domneva o 3-krogli je ostala nepotrjena.

Odločilni korak je bil storjen novembra 2002, ko je Grigorij Perelman, matematik iz peterburške podružnice Matematičnega inštituta. Steklov, članek poslal na spletno stran www.arxiv.org, kjer fiziki in matematiki z vsega sveta razpravljajo o rezultatih svojih znanstvenih dejavnosti. Topologi so takoj dojeli povezavo med delom ruskega znanstvenika in Poincaréjevo domnevo, čeprav je avtor ni neposredno omenil. Marca 2003 je Perelman objavil drugi članek in spomladi istega leta je obiskal Združene države in imel več seminarjev na Massachusetts Institute of Technology in Državni univerzi New York v Stony Brooku. Več skupin matematikov na vodilnih inštitutih je takoj začelo podrobno preučevati predložena dela in iskati napake.

PREGLED: DOKAZ POINCARESOVE HIPOTEZE

Celo stoletje so matematiki poskušali dokazati domnevo Henrija Poincaréja o izjemni preprostosti in edinstvenosti 3-krogle med vsemi tridimenzionalnimi objekti.
Utemeljitev za Poincaréjevo domnevo se je končno pojavila v delu mladega ruskega matematika Grigorija Perelmana. Opravil je tudi obsežen program klasifikacije tridimenzionalnih mnogoterosti.
Morda ima naše vesolje obliko 3-krogle. Obstajajo še druge zanimive povezave med matematiko in fiziko delcev ter splošno teorijo relativnosti.

V Stony Brooku je imel Perelman v dveh tednih več predavanj, pri čemer je govoril od tri do šest ur na dan. Zelo nazorno je predstavil snov in odgovoril na vsa vprašanja, ki so se porajala. Do končnega rezultata je ostal še en majhen korak, a ni dvoma, da bo storjen. Prvi članek bralca seznani z osnovnimi idejami in velja za popolnoma preverjenega. Drugi članek zajema uporabna vprašanja in tehnične nianse; še ne vzbuja enakega popolnega zaupanja kot njegov predhodnik.

Leta 2000 je Inštitut za matematiko poimenovan po. Clay v Cambridgeu v Massachusettsu je ustanovil nagrado v višini 1 milijon dolarjev za dokazovanje vsakega od sedmih problemov tisočletja, od katerih eden velja za Poincaréjevo domnevo. Preden lahko znanstvenik zahteva nagrado, mora biti njegov dokaz objavljen in skrbno pregledan dve leti.

Perelmanovo delo razširja in dopolnjuje raziskovalni program, izveden v 90. letih. prejšnjega stoletja Richard S. Hamilton z univerze Columbia. Konec leta 2003 so bila dela ameriškega matematika nagrajena z nagrado Clay Institute. Perelman je uspel briljantno premagati številne ovire, ki jim Hamilton ni bil kos.

Pravzaprav Perelmanov dokaz, o pravilnosti katerega še nihče ni mogel dvomiti, rešuje veliko širši spekter vprašanj kot sama Poincaréjeva domneva. Geometrizacijski postopek, ki ga je predlagal William P. Thurston z Univerze Cornell, omogoča popolno klasifikacijo 3-raznoterosti, ki temelji na 3-sferi, ki je edinstvena v svoji sublimni preprostosti. Če bi bila Poincaréjeva domneva napačna, tj. Če bi obstajalo veliko prostorov, ki bi bili tako preprosti kot krogla, bi se klasifikacija 3-raznoterosti spremenila v nekaj neskončno bolj zapletenega. Zahvaljujoč Perelmanu in Thurstonu imamo popoln katalog vseh matematično možnih oblik tridimenzionalnega prostora, ki bi jih lahko prevzelo naše vesolje (če upoštevamo le prostor brez časa).

Gumijaste vrečke

Da bi bolje razumeli Poincaréjevo domnevo in Perelmanov dokaz, si morate podrobneje ogledati topologijo. V tej veji matematike oblika predmeta ni pomembna, kot če bi bil narejen iz testa, ki ga je mogoče kakor koli raztegovati, stiskati in upogibati. Zakaj bi razmišljali o stvareh ali prostorih iz namišljenega testa? Dejstvo je, da se natančna oblika predmeta - razdalja med vsemi njegovimi točkami - nanaša na strukturno raven, imenovano geometrija. S preučevanjem predmeta iz testa topologi identificirajo njegove temeljne lastnosti, ki niso odvisne od geometrijske strukture. Preučevanje topologije je podobno iskanju najpogostejših lastnosti ljudi ob pogledu na »človeka iz plastelina«, ki ga je mogoče spremeniti v katerega koli posameznika.

V popularni literaturi je pogosto zaslediti otrdo trditev, da se s topološkega vidika skodelica ne razlikuje od krofa. Dejstvo je, da lahko skodelico testa spremenimo v krof tako, da material preprosto zdrobimo, tj. ne da bi karkoli zaslepili ali naredili luknje (glejte TOPOLOGIJA POVRŠINE). Po drugi strani pa je za izdelavo krofa iz krogle nujno treba narediti luknjo ali jo zviti v valj in oblikovati konce, tako da krogla sploh ni krof.

Topologe najbolj zanimajo površine krogle in krofa. Zato si namesto trdnih teles raje predstavljajte balone. Njihova topologija je še vedno drugačna, ker sferičnega balona ni mogoče pretvoriti v obročastega, ki ga imenujemo torus. Najprej so se znanstveniki odločili ugotoviti, koliko objektov z različnimi topologijami obstaja in kako jih je mogoče označiti. Za 2-množice, ki smo jih navajeni imenovati površine, je odgovor eleganten in preprost: vse je določeno s številom "lukenj" ali, kar je isto, številom ročajev (glej TOPOLOGIJA POVRŠIN). konec 19. stoletja. matematiki so ugotovili, kako razvrstiti površine in ugotovili, da je najpreprostejša med njimi krogla. Seveda so topologi začeli razmišljati o 3-raznoterih: ali je 3-krogla edinstvena v svoji preprostosti? Stoletna zgodovina iskanja odgovora je polna napačnih korakov in pomanjkljivih dokazov.

Henri Poincaré se je tega vprašanja natančno lotil. Bil je eden od dveh najvplivnejših matematikov zgodnjega 20. stoletja. (drugi je bil David Gilbert). Imenovali so ga zadnji univerzalist - uspešno je deloval na vseh področjih čiste in uporabne matematike. Poleg tega je Poincaré ogromno prispeval k razvoju nebesne mehanike, teorije elektromagnetizma, pa tudi k filozofiji znanosti, o čemer je napisal več poljudnih knjig.

Poincaré je postal utemeljitelj algebraične topologije in je z njenimi metodami leta 1900 oblikoval topološko značilnost objekta, imenovano homotopija. Če želite določiti homotopičnost kolektorja, morate vanj mentalno potopiti zaprto zanko (glej TOPOLOGIJA POVRŠIN). Potem morate ugotoviti, ali je zanko vedno mogoče skrčiti do točke s premikanjem znotraj razdelilnika. Za torus bo odgovor negativen: če postavite zanko okoli oboda torusa, ga ne boste mogli zategniti do točke, ker "luknja" krofa bo ovirala. Homotopija je število različnih poti, ki lahko preprečijo krčenje zanke.

VEČDIMENZIONALNA GLASBA SFERE

Ni si lahko predstavljati 3-krogle. Matematikom, ki dokazujejo izreke o prostorih z višjo dimenzijo, si ni treba predstavljati predmeta preučevanja: ukvarjajo se z abstraktnimi lastnostmi, ki jih vodijo intuicije, ki temeljijo na analogijah z manj dimenzijami (takšne analogije je treba obravnavati previdno in jih ne jemati dobesedno). Upoštevali bomo tudi 3-kroglo, ki temelji na lastnostih objektov z manj dimenzijami.

1. Začnimo z ogledom kroga in kroga, ki ga obdaja. Za matematike je krog dvodimenzionalna krogla, krog pa enodimenzionalna krogla. Poleg tega je krogla katere koli velikosti napolnjen predmet, ki spominja na lubenico, krogla pa je njena površina, bolj podobna balonu. Krog je enodimenzionalen, ker je položaj točke na njem mogoče določiti z eno samo številko.

2. Iz dveh krogov lahko sestavimo dvodimenzionalno kroglo, tako da enega spremenimo v severno poloblo, drugega pa v južno poloblo. Ostaja le še, da jih zlepite skupaj in 2-krogla je pripravljena.

3. Predstavljajmo si mravljo, ki se plazi s severnega tečaja po velikem krogu, ki ga sestavljata začetni in 180. poldnevnik (levo). Če njeno pot preslikamo na dva prvotna kroga (na desni), vidimo, da se žuželka premakne v ravni črti (1) do roba severnega kroga (a), nato prečka mejo, zadene ustrezno točko na južni krog in nadaljuje po ravni črti (2 in 3). Nato mravlja spet doseže rob (b), ga prečka in se spet znajde na severnem krogu ter hiti proti izhodišču - severnemu polu (4). Upoštevajte, da se pri potovanju po svetu na 2-sferi smer gibanja obrne, ko se premikate iz enega kroga v drugega.

4. Zdaj razmislite o naši 2-sferi in prostornini, ki jo vsebuje (tridimenzionalna krogla) in naredite z njima isto stvar kot s krogom in krogom: vzemite dve kopiji krogle in zlepite njuni meji skupaj. Nemogoče in ni potrebno jasno prikazati, kako se krogle izkrivljajo v štirih dimenzijah in se spremenijo v analog hemisfer. Dovolj je vedeti, da pripadajoče točke na ploskvah, tj. 2-krogli sta med seboj povezani na enak način kot v primeru krogov. Rezultat povezovanja dveh žog je 3-krogla - površina štiridimenzionalne krogle. (V štirih dimenzijah, kjer obstajata 3-sfera in 4-krogla, je površina predmeta tridimenzionalna.) Imenujmo eno kroglo severna polobla, drugo pa južna polobla. Po analogiji s krogi se poli sedaj nahajajo v središčih kroglic.

5. Predstavljajte si, da so zadevne kroglice velike prazne regije prostora. Recimo, da se astronavt z raketo odpravi s severnega tečaja. Čez čas doseže ekvator (1), ki je zdaj krogla, ki obdaja severno kroglo. Ko ga prečka, raketa vstopi na južno poloblo in se premika v ravni črti skozi njeno središče - južni pol - na nasprotno stran ekvatorja (2 in 3). Tam se ponovno zgodi prehod na severno poloblo in popotnik se vrne na severni pol, tj. do izhodišča (4). To je scenarij za potovanje okoli sveta na površini 4-dimenzionalne krogle! Obravnavana tridimenzionalna krogla je prostor, na katerega se nanaša Poincaréjeva domneva. Morda je naše vesolje natanko 3-krogla.
Utemeljitev je mogoče razširiti na pet dimenzij in zgraditi 4-kroglo, vendar si je to zelo težko predstavljati. Če zlepite dve n-krogli vzdolž (n–1)-krogel, ki ju obdajajo, dobite n-kroglo, ki omejuje (n+1)-kroglo.

Na n-sferi je vsako zanko, tudi zapleteno zavito, vedno mogoče razplesti in potegniti skupaj do točke. (Zanki je dovoljeno, da gre skozi samo sebe.) Poincaré je domneval, da je 3-sfera edina 3-mnogoterost, na kateri se lahko katera koli zanka skrči v točko. Na žalost mu nikoli ni uspelo dokazati svoje domneve, ki je kasneje postala znana kot Poincaréjeva domneva. V zadnjih sto letih so mnogi ponudili svojo različico dokaza, a le zato, da bi se prepričali o njegovi zmotnosti. (Za lažjo razlago zanemarjam dva posebna primera: t.i. neorientabilne mnogoterosti in mnogoterosti z robovi. Na primer, krogla, iz katere je izrezan segment, ima rob, Möbiusova zanka pa nima samo robov , vendar je tudi neorientabilen.)

Geometrizacija

Perelmanova analiza 3-raznoterosti je tesno povezana s postopkom geometrizacije. Geometrija se ukvarja z dejansko obliko predmetov in mnogoterosti, ki niso več narejene iz testa, ampak iz keramike. Na primer, skodelica in krof sta geometrijsko različna, ker sta njuni površini različno ukrivljeni. Rečeno je, da sta skodelica in krof dva primera topološkega torusa, ki ima različne geometrijske oblike.

Da bi razumeli, zakaj je Perelman uporabil geometrizacijo, razmislite o klasifikaciji 2-raznoterosti. Vsaki topološki površini je dodeljena edinstvena geometrija, katere ukrivljenost je enakomerno porazdeljena po razdelilniku. Na primer, za kroglo je to popolnoma sferična površina. Druga možna geometrija za topološko kroglo je jajce, vendar njegova ukrivljenost ni povsod enakomerno porazdeljena: ostri konec je bolj ukrivljen kot top.

2-raznoterosti tvorijo tri geometrijske tipe (glej GEOMETRIZACIJA). Za kroglo je značilna pozitivna ukrivljenost. Geometriziran torus je raven in ima ničelno ukrivljenost. Vsi ostali 2-množeci z dvema ali več "luknjami" imajo negativno ukrivljenost. Ustrezajo površini, podobni sedlu, ki je spredaj in zadaj ukrivljena navzgor ter levo in desno navzdol. Poincaré je razvil to geometrijsko klasifikacijo (geometrizacijo) 2-raznoterosti skupaj s Paulom Koebejem in Felixom Kleinom, po katerem je Kleinova steklenica dobila ime.

Obstaja naravna želja, da bi podobno metodo uporabili za 3-množice. Ali je mogoče za vsakega od njih najti edinstveno konfiguracijo, v kateri bi bila ukrivljenost enakomerno porazdeljena po celotni raznolikosti?

Izkazalo se je, da so 3-raznoterniki veliko bolj zapleteni kot njihovi dvodimenzionalni dvojniki in večini od njih ni mogoče pripisati homogene geometrije. Razdeliti jih je treba na dele, ki ustrezajo eni od osmih kanoničnih geometrij. Ta postopek spominja na razgradnjo števila na prafaktorje.

TOPOLOGIJA POVRŠINE

V TOPOLOGIJI natančna oblika, tj. geometrija je nepomembna: predmeti se obravnavajo, kot da so narejeni iz testa in jih je mogoče raztegovati, stiskati in zvijati. Ničesar pa ni mogoče rezati ali lepiti. Tako je vsak predmet z eno luknjo, kot je skodelica za kavo (levo), enakovreden krofu ali torusu (desno).

VSAKO DVODIMENZIONALNO mnogoterost ali površino (omejeno na kompaktne objekte, ki jih je mogoče orientirati) je mogoče izdelati z dodajanjem ročajev krogli (a). Nalepimo enega in naredimo ploskev 1. vrste, t.j. torus ali krof (desno zgoraj), dodamo drugega - dobimo površino 2. vrste (b) itd.

Edinstvenost 2-sfere med ploskvami je v tem, da se lahko katera koli zaprta zanka, vdelana vanjo, skrči v točko (a). Na torusu lahko to prepreči sredinska luknja (b). Vsaka površina razen 2-sfere ima ročaje, ki preprečujejo zategovanje zanke. Poincaré je predlagal, da je 3-krogla edinstvena med tridimenzionalnimi mnogoterostmi: samo na njej se lahko katera koli zanka skrči v točko.

Ta postopek razvrščanja je prvi predlagal Thurston v poznih 70-ih. prejšnje stoletje. Skupaj s sodelavci je večino tega utemeljil, nekaterih ključnih točk (vključno s Poincaréjevo domnevo) pa jim ni uspelo dokazati. Je 3-krogla edinstvena? Zanesljiv odgovor na to vprašanje se je prvič pojavil v Perelmanovih člankih.

Kako lahko kolektor geometriziramo in mu damo povsod enakomerno ukrivljenost? Vzeti morate poljubno geometrijo z različnimi izboklinami in vdolbinami, nato pa zgladiti vse nepravilnosti. V začetku 90. let. XX stoletje Hamilton je začel analizirati 3-raznoterosti z uporabo Riccijeve enačbe toka, poimenovane po matematiku Gregoriu Ricci-Curbastru. Nekako je podobna enačbi toplotnega prevoda, ki opisuje toplotne tokove, ki tečejo v neenakomerno segretem telesu, dokler njegova temperatura ne postane povsod enaka. Na enak način Riccijeva enačba toka določa spremembo ukrivljenosti razdelilnika, ki vodi do poravnave vseh štrlin in vdolbin. Na primer, če začnete z jajcem, bo postopoma postalo sferično.

GEOMETRIZACIJA

ZA RAZVRSTITEV 2-raznoterosti lahko uporabite uniformizacijo ali geometrizacijo: dodelite jim določeno geometrijo, togo obliko. Zlasti je mogoče vsak kolektor transformirati tako, da je njegova ukrivljenost enakomerno porazdeljena. Krogla (a) je edinstvena oblika s stalno pozitivno ukrivljenostjo: povsod je ukrivljena kot vrh hriba. Torus (b) lahko naredimo ploščat, tj. povsod brez ukrivljenosti. Če želite to narediti, ga morate rezati in poravnati. Nastali valj je treba razrezati po dolžini in ga raztegniti v pravokotno ravnino. Z drugimi besedami, torus lahko preslikamo na ravnino. Površine tipa 2 in višje (c) lahko dobijo konstantno negativno ukrivljenost, njihova geometrija pa bo odvisna od števila ročajev. Spodaj je površina v obliki sedla s konstantno negativno ukrivljenostjo.

RAZVRŠČANJE 3-SORTE je veliko težje. 3-raznoterost je treba razdeliti na dele, od katerih se lahko vsak pretvori v eno od osmih kanoničnih 3-dimenzionalnih geometrij. Spodnji primer (zaradi preprostosti prikazan kot 2-raznoterost v modri barvi) je sestavljen iz 3-geometrij s konstantno pozitivno (a), ničelno (b) in konstantno negativno (c) ukrivljenostjo, kot tudi "produkte" 2 -krogla in krog (d) ter ploskve z negativno ukrivljenostjo in krožnice (e).

Vendar je Hamilton naletel na določene težave: v nekaterih primerih Riccijev tok povzroči stiskanje razdelilnika in nastanek neskončno tankega vratu. (To se razlikuje od toplotnega toka: na stisnjenih točkah bi bila temperatura neskončno visoka.) En primer je kolektor v obliki ročice. Krogle rastejo tako, da vlečejo material iz mostu, ki se zoži v konico na sredini (glejte BOJNE LASTNOSTI). V drugem primeru, ko tanka palica štrli iz razdelilnika, Riccijev tok povzroči pojav tako imenovane singularnosti v obliki cigare. V pravilnem 3-raznoterju je okolica katere koli točke del običajnega tridimenzionalnega prostora, česar ne moremo reči za singularne pinčeve točke. Delo ruskega matematika je pomagalo premagati to težavo.

Leta 1992 je Perelman po zagovoru doktorske disertacije prispel v ZDA in nekaj semestrov preživel na Državni univerzi v New Yorku v Stony Brooku, nato pa dve leti na Kalifornijski univerzi v Berkeleyju. Hitro si je prislužil sloves vzhajajoče zvezde, saj je dosegel več pomembnih in globokih rezultatov v eni od vej geometrije. Perelman je prejel nagrado Evropskega matematičnega društva (ki jo je zavrnil) in prejel prestižno povabilo, da govori na mednarodnem kongresu matematikov (ki ga je sprejel).

Spomladi 1995 so mu ponudili položaje na več uglednih matematičnih ustanovah, a se je odločil vrniti v rodni Sankt Peterburg in v bistvu izginil izpred oči. Dolga leta so bila edini znak njegove dejavnosti pisma nekdanjim kolegom, ki so nakazovala napake v objavljenih člankih. Na vprašanja o statusu njegovih lastnih del ni bilo odgovora. In potem je konec leta 2002 več ljudi prejelo e-pošto od Perelmana, ki jih je obvestil o članku, ki ga je poslal na matematični strežnik. Tako se je začel njegov napad na Poincaréjevo domnevo.

BOJ PROTI LASTNOSTIM

POSKUS UPORABE Riccijevo enačbo toka, da bi dokazali Poincaréjevo domnevo in geometrizacijo 3-raznoterosti, so znanstveniki naleteli na težave, ki jih je Grigory Perelman uspel premagati. Uporaba Riccijevega toka za postopno spreminjanje oblike 3-razvodnika včasih povzroči singularnosti. Na primer, ko ima del predmeta obliko ročice (a), se lahko cev med kroglami stisne v konico, kar poruši lastnosti razdelilnika (b). Možno je tudi, da se bo pojavila tako imenovana značilnost v obliki cigare.

PERELMAN POKAZAL, da se na funkcijah lahko izvajajo »operacije«. Ko se razdelilnik začne stisniti, izrežite majhne odseke na obeh straneh zožitve (c), pokrijte mesta reza z majhnimi kroglami in nato ponovno uporabite Ricci flow (d). Če se ščip ponovi, je treba postopek ponoviti. Perelman je tudi dokazal, da se funkcija v obliki cigare nikoli ne pojavi.

Perelman je Riccijevi enačbi toka dodal nov člen. Ta sprememba ni odpravila problema posebnosti, je pa omogočila veliko bolj poglobljeno analizo. Ruski znanstvenik je pokazal, da je mogoče izvesti "kirurško" operacijo na kolektorju v obliki ročice: odrežite tanko cev na obeh straneh nastajajoče zožitve in zaprite odprte cevi, ki štrlijo iz kroglic, s sferičnimi pokrovčki. Nato je treba nadaljevati s spreminjanjem "upravljanega" razdelilnika v skladu z Riccijevo enačbo toka in uporabiti zgornji postopek za vse nastajajoče zožitve. Perelman je tudi pokazal, da se poteze v obliki cigare ne morejo pojaviti. Tako lahko katerikoli 3-množec reduciramo na niz delov s homogeno geometrijo.

Ko Riccijev tok in "kirurgijo" uporabimo za vse možne 3-raznoterosti, se vsako od njih, če je tako preprosto kot 3-sfera (z drugimi besedami, zanj je značilna enaka homotopija), nujno reducira na isto homogeno geometrijo kot in 3-krogla. To s topološkega vidika pomeni, da je obravnavani mnogoterost 3-krogla. Tako je 3-krogla edinstvena.

Vrednost Perelmanovih člankov ni le v dokazu Poincaréjeve domneve, ampak tudi v novih metodah analize. Znanstveniki po vsem svetu že uporabljajo rezultate, ki jih je pridobil ruski matematik, pri svojem delu in uporabljajo metode, ki jih je razvil na drugih področjih. Izkazalo se je, da je Riccijev tok povezan s tako imenovano renormalizacijsko skupino, ki določa, kako se spreminja moč interakcij glede na energijo trka delcev. Na primer, pri nizkih energijah je moč elektromagnetne interakcije označena s številom 0,0073 (približno 1/137). Ko pa dva elektrona čelno trčita s skoraj svetlobno hitrostjo, se sila približa 0,0078. Matematika, ki opisuje spremembo fizikalnih sil, je zelo podobna matematiki, ki opisuje geometrizacijo mnogoterosti.

Povečanje energije trka je enakovredno proučevanju sile na manjših razdaljah. Zato je renormalizacijska skupina podobna mikroskopu s spremenljivim faktorjem povečave, ki vam omogoča preučevanje procesa na različnih ravneh podrobnosti. Podobno je Ricci flow mikroskop za opazovanje kolektorjev. Izbokline in vdolbine, vidne pri eni povečavi, pri drugi izginejo. Verjetno je na lestvici Planckove dolžine (približno $10^(–35)$ m) prostor, v katerem živimo, videti kot pena s kompleksno topološko strukturo (glej članek »Atomi prostora in časa«, »V svetu znanosti«, št. 4, 2004). Poleg tega so enačbe splošne relativnosti, ki opisujejo značilnosti gravitacije in obsežno strukturo vesolja, tesno povezane z Riccijevo enačbo toka. Paradoksalno je, da izraz, ki ga je Perelman dodal Hamiltonovemu izrazu, izvira iz teorije strun, ki naj bi bila kvantna teorija gravitacije. Možno je, da bodo znanstveniki v člankih ruskega matematika našli veliko več koristnih informacij ne le o abstraktnih 3-množicah, ampak tudi o prostoru, v katerem živimo.

Graham P. Collins, dr., je urednik pri Scientific American. Več informacij o Poincaréjevem izreku je na voljo na www.sciam.com/ontheweb.

DODATNA LITERATURA:

Poincarejeva domneva 99 let pozneje: poročilo o napredku. John W. Milnor. Februar 2003. Dostopno na www.math.sunysb.edu/~jack/PREPRINTS/poiproof.pdf
Jules Henri Poincare' (biografija). Oktober 2003. Dostopno na www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Poincare.html
Problemi tisočletja. Clay Mathematics Institute: www.claymath.org/millennium/
Opombe in komentarji o Perelmanovih Riccijevih dokumentih o toku. Sestavila Bruce Kleiner in John Lott. Na voljo na www.math.lsa.umich.edu/research/ricciflow/perelman.html
Topologija. Eric W. Weisstein v spletnem viru Mathworld-A Wolfram. Na voljo na

Poincarejeva hipoteza in značilnosti ruske mentalitete.

Na kratko: brezposelni profesor, star komaj 40 let, rešil je enega od 7 najtežjih problemov človeštva, živi v panelni hiši na obrobju mesta z mamo in namesto nagrade, ki jo dajejo vsi matematiki. v svetu sanj in milijon dolarjev za povrh, je odšel nabirat gobe in ga prosil, naj ga ne moti.

In zdaj podrobneje:

http://lenta.ru/news/2006/08/16/perelman/

Grigorij Perelman, ki je dokazal Poincaréjevo domnevo, zavrača številne nagrade in denarne nagrade, ki so mu jih podelili za ta dosežek, poroča časnik Guardian. Po obsežnem pregledu dokazov, ki je trajal skoraj štiri leta, je znanstvena skupnost ugotovila, da je Perelmanova rešitev pravilna.

Poincaréjeva domneva je eden od sedmih najpomembnejših matematičnih "problemov tisočletja", za rešitev vsakega od katerih je Clay Mathematics Institute podelil nagrado v višini enega milijona dolarjev. Tako bi moral Perelman prejeti nagrado. Znanstvenik ne sporoča s tiskom, vendar je časopis postal Znano je, da Perelman tega denarja noče vzeti Po mnenju matematika komisija, ki je podelila nagrado, ni dovolj usposobljena, da bi ocenila njegovo delo.

»V Sankt Peterburgu ni varno imeti milijon dolarjev,« strokovna skupnost v šali predlaga še en razlog za Perelmanovo nenavadno vedenje. O tem je za časnik povedal profesor matematike na oxfordski univerzi Nigel Hitchin.

Naslednji teden bo po govoricah objavljeno, da je Perelman prejel najprestižnejšo mednarodno Fieldsovo medaljo na tem področju, sestavljeno iz dragocene medalje in denarne nagrade. Fieldsova medalja velja za matematični ekvivalent Nobelove nagrade. Podeljuje se vsaka štiri leta na mednarodnem matematičnem kongresu, nagrajenci pa ne smejo biti starejši od 40 let. Te nagrade noče sprejeti niti Perelman, ki bo leta 2006 dopolnil štirideset let in izgubil možnost, da bi sploh kdaj prejel to nagrado.

O Perelmanu je že dolgo znano, da se izogiba uradnim dogodkom in ne mara občudovanja. Toda v trenutni situaciji vedenje znanstvenika presega ekscentričnost teoretika iz fotelja. Perelman je že zapustil svoje akademsko delo in noče opravljati profesorskih funkcij. Zdaj se želi skriti pred priznanjem svojih zaslug za matematiko - delo njegovega celotnega življenja.

Grigorij Perelman je osem let delal na dokazu Poincaréjevega izreka. Leta 2002 je rešitev problema objavil na spletni strani predtiska Znanstvenega laboratorija Los Alamos. Svojega dela do sedaj ni nikoli objavil v recenzirani reviji, kar je pogoj za večino nagrad.

Perelmana lahko štejemo za standardni primer izdelkov sovjetskega izobraževanja. Rodil se je leta 1966 v Leningradu. Še vedno živi v tem mestu. Perelman je študiral na specializirani šoli št. 239 s poglobljenim študijem matematike. Zmagal je na neštetih olimpijskih igrah. Brez izpitov sem se vpisal na matematiko in mehaniko na Leningrajski državni univerzi. Prejel je Leninovo štipendijo. Po univerzi je vpisal podiplomski študij na leningrajski podružnici Matematičnega inštituta V. A. Steklova, kjer je ostal delati. V poznih osemdesetih se je Perelman preselil v ZDA, poučeval na več univerzah in se nato vrnil na svoje staro mesto.

Zaradi stanja dvorca grofa Muravjova v Sankt Peterburgu na Fontanki, kjer se nahaja Matematični inštitut, je Perelmanovo pomanjkanje srebra še posebej nezadostno. Stavba se lahko, kot poroča časnik Izvestia, vsak trenutek zruši in pade v reko.Nakup računalniške opreme (edina oprema, ki jo potrebujejo matematiki) je še mogoče financirati s pomočjo različnih nepovratnih sredstev, a dobrodelne organizacije niso pripravljene plačati obnovo zgodovinske stavbe.

==========================

http://www.newsinfo.ru/news/2006/08/news1325575.php

Matematik puščavnik, ki je dokazal eno najtežjih znanstvenih hipotez, Poincaréjev izrek, ni nič manj skrivnosten kot problem sam.

O njem je malo znanega. Na inštitut sem vstopil na podlagi rezultatov šolskih olimpijad in prejel Leninovo štipendijo. V peterburški posebni šoli št. 239 se ga spominjajo kot sina Jakova Perelmana, avtorja znamenitega učbenika »Zabavna fizika«. Fotografija Grishe Perelmana - na plošči velikih skupaj z Lobačevskim in Leibnizom.

"Bil je tako odličen učenec, samo pri telesni vzgoji ... Sicer bi bila medalja," se spominja njegova učiteljica Tamara Efimova, direktorica fizikalno-matematičnega liceja 239 v intervjuju za Prvi kanal.

Vedno je bil za čisto znanost, proti formalnostim - to so besede njegovega nekdanjega šolskega učitelja, enega redkih, s katerimi je Perelman ohranil stik vseh osem let svojega iskanja. Kot pravi, je moral matematik pustiti službo, ker je moral pisati članke in poročila, Poincare pa je ves njegov čas absorbiral. Matematika je na prvem mestu.

Perelman je osem let svojega življenja preživel pri reševanju enega od sedmih nerešljivih matematičnih problemov. Delal je sam, nekje na podstrešju, skrivaj. Predaval je v Ameriki, da se je preživljal doma. Zapustil je službo, ki ga je odvrnila od glavnega cilja, ne odgovarja na klice in ne komunicira z novinarji.

Milijon dolarjev se podeli za rešitev enega od sedmih nerešljivih matematičnih problemov; to je Fieldsova medalja, Nobelova nagrada za matematike. Grigorij Perelman je postal glavni kandidat za njegovo prejem.

Znanstvenik to ve, a očitno ga denarno priznanje očitno ne zanima. Po mnenju kolegov sploh ni predložil dokumentov za nagrado.

»Kolikor razumem, samega Grigorija Jakovleviča sploh ne zanima milijon,« pravi Ildar Ibragimov, akademik Ruske akademije znanosti, »pravzaprav so ljudje, ki lahko rešijo te probleme, večinoma ljudje, ki nočejo delati. zaradi tega denarja. Mene bo skrbelo nekaj povsem drugega."

Perelman je delo o Poincaréjevi domnevi edinkrat objavil pred tremi leti na internetu. Bolj verjetno niti ne delo, ampak skica na 39 straneh. Ne pristaja na pisanje podrobnejšega poročila s podrobnimi dokazi. Tega ni uspelo niti podpredsedniku Svetovnega matematičnega društva, ki je posebej prišel v Sankt Peterburg, da bi našel Perelmana.

V zadnjih treh letih nihče ni mogel najti napake v Perelmanovih izračunih, kot zahtevajo pravila Fieldsove nagrade. Q.E.D.

==============================

http://elementy.ru/news/430288

Postopek dokazovanja Poincaréjeve domneve zdaj očitno prehaja v zadnjo fazo. Tri skupine matematikov so končno ugotovile ideje Grigorija Perelmana in v zadnjih nekaj mesecih predstavile svoje različice popolnega dokaza te hipoteze.

Domneva, ki jo je oblikoval Poincaré leta 1904, pravi, da so vse tridimenzionalne ploskve v štiridimenzionalnem prostoru, ki so homotopsko enakovredne krogli, njej homeomorfne. Preprosto povedano, če je tridimenzionalna površina nekoliko podobna krogli, potem lahko, če je razprta, postane le krogla in nič drugega. Za podrobnosti o tej domnevi in zgodovini njenega dokaza preberite priljubljeni članek Problems of 2000: Poincaré's conjecture v reviji Computerra.

Za dokaz Poincaréjeve domneve, Matematični inštitut. Clay je prejel nagrado v višini milijon dolarjev, kar se morda zdi presenetljivo: navsezadnje govorimo o zelo zasebnem, nezanimivem dejstvu. Pravzaprav za matematike niso pomembne toliko lastnosti tridimenzionalne površine kot dejstvo, da je sam dokaz težaven. Ta problem formulira v koncentrirani obliki tisto, kar ni bilo mogoče dokazati z uporabo predhodno obstoječih idej in metod geometrije in topologije. Omogoča pogled na globlji nivo, v tisto plast problemov, ki jih je mogoče rešiti le s pomočjo idej »nove generacije«.

Tako kot v primeru Fermatovega izreka se je izkazalo, da je Poincaréjeva domneva poseben primer veliko bolj splošne trditve o geometrijskih lastnostih poljubnih tridimenzionalnih površin - Thurstonove geometrizacijske domneve.Zato prizadevanja matematikov niso bila usmerjena v reševanje tega posebnega primera, temveč zgraditi nov matematični pristop, ki se lahko spopade s takšnimi težavami.

Preboj je v letih 2002-2003 uspel ruski matematik Grigorij Perelman. V svojih treh člankih math.DG/0211159, math.DG/0303109, math.DG/0307245, v katerih je predlagal številne nove ideje, je razvil in dokončal metodo, ki jo je v osemdesetih letih predlagal Richard Hamilton. Perelman v svojih delih trdi, da teorija, ki jo je zgradil, omogoča dokazovanje ne le Poincaréjeve domneve, ampak tudi hipotezo o geometrizaciji.

Bistvo metode je, da je za geometrijske objekte mogoče definirati neko enačbo »gladke evolucije«, podobno enačbi renormalizacijske skupine v teoretični fiziki. Začetna površina se bo med tem razvojem deformirala in, kot je pokazal Perelman, se bo sčasoma gladko spremenila v kroglo. Moč tega pristopa je v tem, da lahko mimo vseh vmesnih trenutkov takoj pogledate »v neskončnost«, na samem koncu evolucije, in tam odkrijete kroglo.

Perelmanova dela so zaznamovala začetek spletk. V svojih člankih je razvil splošno teorijo in orisal ključne točke v dokazu ne le Poincaréjeve domneve, ampak tudi hipoteze o geometrizaciji. Perelman ni predložil popolnega dokaza v vseh podrobnostih, čeprav je trdil, da je dokazal obe hipotezi. Tudi leta 2003 je Perelman gostoval po ZDA s serijo predavanj, med katerimi je jasno in podrobno odgovarjal na vsa tehnična vprašanja poslušalcev.

Takoj po objavi Perelmanovih prednatisov so strokovnjaki začeli preverjati ključne točke njegove teorije in še niso odkrili niti ene napake. Še več, v preteklih letih je več skupin matematikov uspelo absorbirati ideje, ki jih je predlagal Perelman, do te mere, da so začeli zapisovati celoten dokaz »v jasni obliki«.

Maja 2006 se je pojavil članek B. Kleinerja, J. Lotta, math.DG/0605667, v katerem je podana podrobna izpeljava izpuščenih točk v Perelmanovem dokazu. (Mimogrede, ti avtorji vzdržujejo spletno stran, posvečeno Perelmanovim člankom in sorodnemu delu.)

Nato je junija 2006 Asian Journal of Mathematics objavil 327-stranski članek kitajskih matematikov Huai-Dong Cao in Xi-Ping Zhu z naslovom "Popoln dokaz Poincaréjevih in geometrizacijskih domnev - uporaba Hamilton-Perelmanove teorije Riccija teče." Avtorji sami ne trdijo, da imajo popolnoma nov dokaz, ampak le trdijo, da Perelmanov pristop resnično deluje.

Končno se je pred dnevi pojavil 473-stranski članek (ali je to že knjiga?) J. W. Morgana, G. Tiana, math.DG/0607607, v katerem avtorja po Perelmanovih stopinjah predstavljata svoje dokaz Poincaréjeve domneve (in ne bolj splošne geometrizacijske hipoteze). John Morgan velja za enega glavnih strokovnjakov za to problematiko in po objavi njegovega dela se očitno lahko šteje, da je Poincaréjeva domneva dokončno dokazana.

Mimogrede, zanimivo je, da je bil članek kitajskih matematikov sprva razdeljen le v papirni različici po ceni 69 dolarjev, tako da ga vsi niso imeli priložnosti pogledati. Toda že naslednji dan po tem, ko se je članek Morgan-Tian pojavil v arhivu prednatisa, se je na spletni strani Asian Journal of Mathematics pojavila elektronska različica članka.

Čas bo pokazal, čigava izpopolnitev Perelmanovih dokazov je natančnejša in preglednejša. Možno je, da bo v prihodnjih letih postalo preprostejše, kot se je zgodilo s Fermatovim izrekom. Zaenkrat lahko opazimo le povečanje obsega objav: od Perelmanovih 30-stranskih člankov do debele knjige Morgana in Tiana, vendar to ni posledica zapletenosti dokaza, temveč podrobnejše izpeljave vseh vmesnih korakov.

Medtem naj bi bil končni dokaz domneve in morda kdo bo nagrajen z nagrado Clay Institute, "uradno" objavljen na mednarodnem kongresu matematikov v Madridu letos avgusta. Poleg tega obstajajo govorice, da bo Grigory Perelman postal eden od štirih dobitnikov Fieldsovih medalj, kar je največje priznanje za mlade matematike.

Ta novica se je razširila po medijih CIS. 39-letni znanstvenik iz Sankt Peterburga GRIGORIJ PERELMAN je pravi kandidat za Fieldsovo medaljo (milijon dolarjev), najvišjo nagrado v matematičnem svetu (kot je znano, Nobelove nagrade ne podeljujejo matematikom).

Francoski matematik Poincare je poskušal ugotoviti, ali je tridimenzionalni prostor krogla. Dokazov za to tezo ni mogel najti ali ovreči. Med nenavadnimi posledicami Poincaréjeve hipoteze, ki so v nasprotju z našimi vsakdanjimi predstavami, izpostavljamo naslednje: s pomočjo nekega super zmogljivega teleskopa, ki z Zemlje zre v kozmično daljavo, lahko jasno vidiš svoj domači... Zemljo ali, ko odletite na dolgo vesoljsko potovanje, končate na odhodni točki.

Vsakih nekaj let so v znanstvenih revijah objavljeni poskusi dokazovanja Poincaréjeve domneve, vendar nobena od predlaganih rešitev še ni prestala znanstvenega preizkusa. Na koncu se je izkazalo, da je bil dokaz napačen. Grigory Perelman je svoja dela objavil na internetu leta 2002 in nihče jih ni ovrgel (kontrolno obdobje - 2 leti). Poleg tega mnogi ugledni znanstveniki verjamejo, da je Perelmanova odločitev pravilna. In očitajo, da so njegova dela zelo zgoščena, jedrnata in obsegajo le nekaj deset strani (60).

Pravila za prejem nagrade zahtevajo objavo na straneh redno izhajajoče znanstvene revije in izpolnjevanje nekaterih drugih formalnosti. Rezident Peterburga Perelman, ki na domačem inštitutu zasluži približno 200 dolarjev (6000 rubljev), jih ignorira. To so njegova življenjska pravila. Trdno upoštevanje jih je morda omogočilo doseganje edinstvenih znanstvenih rezultatov. Sanktpeterburški novinarji so poskušali izpolniti izvirnik, tako skladen s priljubljenimi idejami o genijih. Vse, kar so uspeli izvedeti: Perelman je reden na koncertih klasične glasbe Sanktpeterburške filharmonije, jé kašo, je brezbrižen do oblačil, velja za čudnega celo v svoji znanstveni skupnosti in ne mara tiska.

Torej, o nepričakovani posledici Poincaréjevega izreka. Milijon dolarjev ni nič za nekoga, ki ve, kaj je vesolje. Radi bi železno zaupanje gospoda Perelmana.

Komentar specialista - dopisnega člana Nacionalne akademije znanosti Ukrajine, matematika Vladimirja Šarka:

Zdaj se je poleg del ruskega matematika pojavil dokaz kitajskih profesorjev Zhu Xiping in Lehai Cao, drugega pa so predstavili Američani, ki jih vodi John Morgan. Toda prvenstvo seveda pripada Perelmanu. Čeprav v resnici za to ni nobenega dokaza. Prav zato, ker ni bil objavljen, ampak obstaja le na kratko, v povzetkih. Perelmanovo delo "visi" na spletnih straneh, tako kot vsako drugo neuradno delo.

- Je Perelman res tako ekscentričen?

Je prijazna oseba, s katero se je prijetno pogovarjati. Tipičen peterburški intelektualec. Srečevala sva se na različnih znanstvenih konferencah. Težko ga imenujemo čudno. Morda ga novinarji nekoliko živcirajo in se z njimi norčuje.

Zdi se le, da je bonus že v njegovem žepu, zato njegovo vedenje velja za čudno. Nagrade tega ranga zahtevajo podporo kolegov in znanstvene skupnosti. In Rusi žal ne morejo zagotoviti ustrezne podpore. Zato je o nagradi še prezgodaj govoriti. Čeprav je prebivalec Sankt Peterburga res zavrnil druge nagrade.

- Ali ima Perelmanovo odkritje kakšen praktičen pomen?

Ne še. Toda praviloma matematična odkritja sčasoma najdejo uporabo. Na primer, dosežki matematike se aktivno uporabljajo v sodobnem napovedovanju vremena. Biologi zdaj tesno sodelujejo z matematiki. Navsezadnje je bil genom dešifriran s pomočjo prvega. Računalniki so se pojavili tudi zaradi dela matematikov. Pravzaprav je zelo uporabna in praktična znanost.

- Ali se Kijevčani lahko pohvalijo s prebojem?

Najbolj prijetna novica: na Kijevskem inštitutu za matematiko se pojavljajo mladi. Ni skrivnost, da so bili težki časi in so ljudje odhajali, predvsem mladi. Toda direktor inštituta, akademik Anatolij Samoilenko, ga je uspel obdržati na ustrezni ravni, kar je bilo zelo težko. Zdaj lahko govorimo o normalizaciji razmer.

Pred kratkim je fant iz Kijeva s Politehnike zasedel prvo mesto na evropski študentski olimpijadi. Kar na splošno kaže na dobro raven poučevanja matematike in znanstvenega dela v Kijevu. V Ukrajini so znane matematične šole: v Donecku, Harkovu; Slavna predvojna lvovska šola matematikov je začela oživljati. Morda bomo nekega dne razveselili znanstveno skupnost z briljantnimi deli.

Moja digresija: Poincaréjeva domneva pravi: Vsak preprosto povezan kompakten tridimenzionalni mnogoterost brez meje je homeomorfen tridimenzionalni krogli.